第9章-常微分方程初值问题数值解法.ppt

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1、数值分析李小林重庆师范大学数学学院NumericalAnalysis第九章常微分方程初值问题数值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/许多实际问题的数学模型是微分方程或微分方程的初值问题,如物体运动,电路震荡,化学反映及生物群体的变化等。能用解析方法求出精确解的微分方程为数不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表达式非常复杂而不易计算,因此有必要研究微分方程的数值解法。《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:(1)变量可分离的方程(2)一阶线性微分方程(贝努利

2、方程)(3)可降阶的一类高阶方程(4)二阶常系数齐次微分方程(5)二阶常系数非齐次微分方程(6)全微分方程本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。③图形解xyo①简单的微分方程②复杂、大型的微分方程①解析解y=f(x)②数值解(xi,yi)欧拉方法改进欧拉方法梯形法龙格-库塔法初值问题及其数值解的概念§1引言常用的一些解析解法：常数变易法、Lapalace变换等分离变量法、变量代换、一阶常微分方程初值问题：对于初值问题，如果在下列区域内连续：（解的存在唯一性）且关于满足Lipschitz条件，即存在常数，使则初值问题存在唯一

3、解，且解是连续可微的。所谓数值解是指：在解的存在区间上取一系列点逐个求出的近似值等距节点：步长初值问题的解析解及其数值解的几何意义：初值问题的解表示过点的一条曲线初值问题的数值解表示一组离散点列可用拟合方法求该组数据的近似曲线积分曲线建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散化.一般采用以下几种方法:(1)用差商近似导数建立数值解法的常用方法(2)用数值积分近似积分实际上是矩形法宽高(3)用Taylor多项式近似并可估计误差§2简单的数值方法Euler方法的基本原理将在点处进行Taylor展开略去项：然后用代替，即得称上述公式

4、为向前Euler公式。一、Euler方法若将在点处进行Taylor展开略去项：然后用代替，即得称上述公式为向后Euler公式。向后Euler公式为隐式格式，需要利用迭代法求解Euler方法的几何意义Y=y(x)ab解：向前Euler公式：例1：分别利用向前和向后Euler方法求解初值问题的数值解（取步长为）向后Euler公式：具体计算结果:利用数值积分将微分方程离散化得梯形公式:解决方法：有的可化为显格式，但有的不行梯形方法为隐式算法二、改进的Euler方法梯形公式比Euler法精度高一些,但计算量较大实际计算中只迭代一次，这样建

5、立的预测—校正系统称作改进的Euler公式。例解Euler近似解精确解01.0.11.10.21.191820.31.277440.41.358210.51.435130.61.50897y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改进Euler近似解结果比较三

6、、常微分方程数值解法的稳定性设一个数值方法以定步长求解实验方程得到线性差分方程的解。当时，若，则称该方法对步长为绝对稳定的；否则称为不稳定的。将数值方法应用于实验方程，若对一切都是绝对稳定的，则称区域为该方法的绝对稳定域。上述定义表明，若数值方法可使任何一步产生的误差在后面的计算中都能逐步削弱，则该方法为绝对稳定。例如，对于向前Euler法：将其应用于实验方程当时，误差将逐步减弱，故此时方法稳定。向前Euler法绝对稳定域：当因有误差变为时，则有四、单步方法的局部误差和阶单步法的一般形式隐式单步法通常称为增量函数显式单步法称为某方法

7、在点的整体截断误差设是准确的，用某种方法计算时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差，即(单步法：在计算yn+1时只利用yn)其中为自然数，则称该方法是阶的或具有阶精度。如果给定方法的局部截断误差为如果一个阶单步方法的局部截断误差为则称为该方法的局部截断误差的主项。如向前Euler方法的局部截断误差一阶方法Euler方法的误差分析对初值问题中的微分方程两端在区间上积分如果用左矩形公式计算右端积分，并令其中上述等式中如果用代替，即得向前Euler格式。其局部截断误差为设关于和均满足Lipschitz条件，即和其中而整体截断误差为{

8、注意到对于初值问题，如果关于满足（向前Euler方法的整体截断误差）Lipschitz条件，为对应的Lipschitz常数，当时，向前Euler方法的数值解一致收敛于初值问题的精确解，且整体截断误差满足估计式如果，Euler方法的整体