常微分方程初值问题的数值解法.ppt

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1、常微分方程初值问题的数值解法制作人：赵文波1引言一般的一阶常微分方程初值问题y`=f(t,y),a≤t≤by(a)=η(1.1)定理一如果f(t,y)在带形区域内R={(t,y)

2、a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中连续，且关于y满足Lipschitz条件：存在常数L，使得

3、f(t,y1)–f(t,y2)

4、≤L

5、y1-y2

6、(1.2)定理二如果f(t,y)在R={(t,y)

7、a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中连续，且关于y满足Lipschitz条件，那么初值问题是适定的(1.3)2离散变量和离散误差离散化过程：把初值为(1.1)的精确

8、解y(t)在一系列的离散点：t1,t2,……tN处的近似值y1y2……yN用y(tn)表示在t=tn处的近似值，n=1,2,……N.离散化方法1.差商代替导数的方法2.Taylor级数法误差1.局部离散误差2.局部截断误差3.整体离散误差3单步法单步法的一般形式显式方法：yn+1=yn+hФ(tn,yn,h),n=0,1,2,…N-1,y0=η,(3.1)或隐式方法：yn+1=yn+hФ(tn,yn,yn+1,h),n=0,1,2,…N-1,y0=η,(3.2)Ф为增量函数，N是正整数，h=(b-a)/NEuler法算法10.

9、1y`=f(t,y),a≤t≤b；y(a)=ηInput端点a,b;区间等分数N，初值ηOuputy(t)在t的N个点处的近似值Step1h←(b-a)/N;t←a;y←η.Step2Fori=1,2,…,NdoStep3-4Step3y←y+hf(t,y);t←a+ih.Step4Output(t,y).Step5return.改进的Euler法解初值问题的梯形计算公式yn+1=yn+(h/2)[f(tn,yn)+f(tn+1,yn+1)],n=0,1,2,…N-1(3.8)y0=η;h=(b-a)/N局部离散误差为Rn=-

10、(h3/12)y```(ξn)y(0)n+1=yn+hf(tn,yn),yn+1=(1/2)[y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1)]n=0,1,2,…N-1(3.10)二阶Runge-Kutta方法m阶Runge-Kutta显式方法Richardson外推法4单步法的相容性和稳定性相容性收敛性稳定性4.1相容性单步法的一般形式yn+1=yn+hФ(tn,yn,h),n=0,1,2,…N-1,y0=η,(4.1)定义1Ф(t,y,0)=f(t,y)(4.3)成立，则称单步法与微分初值问题(1.1)相容，(4.3

11、)为相容条件。定理一假设Ф(t,y,0)关于h是连续的，若单步法与微分初值问题(1.1)相容，则它至少是一阶方法。4.2收敛性定义2假设微分方程(1.1)的右端函数f(t,y)在带形区域内R={(t,y)

12、a≤t≤b,-∞≤u≤+∞}中连续，且关于y满足Lipschitz条件。若对所有的t∈[a,b],limh→0tn=t固定yn=y(t)则称单步法是收敛的。定理2若Ф(t,y,h)对于a≤t≤b,0≤h≤h0以及一切实数y，关于t,y,h满足Lipschitz条件，则单步法(4.1)收敛的充分必要条件是相容条件成立，即Ф(t

13、,y,0)=f(t,y).定理3在定理2的假设下，单步法(4.1)的局部离散误差满足(4.13),则其整体离散误差误差εn=y(tn)-yn满足估计式

14、εn

15、≤eL(b-a)

16、ε0

17、+hpM(eL(b-a)–1)/LL是Ф(t,y,h)关于y满足Lipschitz条件的Lipschitz常数。4.3稳定性定义3如果存在常数h0及C,使得对任意的初始值y0,y0`,单步法(4.1)的相应的精确解yn,yn`,对所有的0

18、yn-yn`

19、≤C

20、y0-y0`

21、,nh≤b-a,则说单步法(4.1)是稳定。定理4若Ф(t,

22、y,h)对于a≤t≤b,0≤h≤h0以及一切实数y，关于t,y,h满足Lipschitz条件，则单步法(4.1)是稳定的。定义4对给定的微分方程和给定的步长h，若有单步法（显式或隐式）计算yn时有大小为δ的误差，即计算得yn`=yn+δ,而引起其后值ym(m>n)的变化小于δ(

23、ym-ym`

24、<

25、δ

26、),则说单步法是绝对稳定的。一般限于y`=μy(4.20)考虑数值方法的绝对稳定性，μ为复常数，若对于所有μh∈(α,β),单步法都绝对稳定，称(α,β)为绝对稳定区间。5多步法5.1线性多步法y`=f(t,y),a≤t≤by(a

27、)=η(1.1)线性k步法的一般公式5.2Adams方法显式Adams方法隐式Adams方法5.3预测-校正方法y(0)n+1=yn+hf(tn,yn)(5.20)yn+1=(1/2)[y(0)n+1+yn+hf(tn+1,y(0)n+1)](5.21)n=0,1,2,…N-