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1、一、高斯点定义：高斯公式机械求积公式含有2n+2个待定参数若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次（2n+1次?!）代数精度，则这类公式称为高斯公式。(4.1)定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。???请回顾:以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？除中矩形公式外都不是！注：机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。举例求[a,b]上的两点高斯公式。解设两点高斯公式为这是关于四个未知数的非线性方程组，是否有解？一般难于求解…要求其代数精度最高，四个未知数，可列出4个方程:高斯点具有以下性质：定理插值型求积公式(4.1)成为G
2、auss求积公式的充要条件：求积节点为n+1次正交多项式的零点。如何求高斯公式?正交多项式概述：首先证明对于任给节点x0，x1，…，xn，均存在某个次数为2n+2的多项式f(x),机械型求积公式不能精确成立，即其最高代数精度不能达到2n+2。如取：证明则有：设求积节点为n+1次正交多项式ωn+1(x)的零点。现证充分性。即求积公式是高斯型。证明现对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),用除f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，即≤2n+1n+1≤n≤n由已知条件，ω(x)与P(x)正交，故得由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少
3、具有n次代数精度，故对Q(x)能准确成立：再注意到ω(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，从而有综之得：这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式准确成立，综之说明xk是高斯点。再证必要性，即若是高斯求积公式设P(x)是任意次数不超过n的多项式，则P(x)ω(x)的次数不超过2n+1，因此应准确成立但故.求积节点构造的注：1、总可通过施密特正交化求出[a,b]上与所有次数不超过n的多项式都正交的多项式ωn+1(x)。2、命题：n次正交多项式有n个单零点。解：设P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。由于即展开，得则一个点的高斯公式为中矩形公式例.求
4、[-1，1]上与次数为0的多项式正交的多项式ω1(x)=？二、高斯—勒让得公式若[a,b]=[-1,1]，其上的高斯公式为称为高斯-勒让得公式。[-1，1]上的正交多项式称为勒让得多项式，勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。几个Legandre多项式：若取P1(x)=x的零点x0=0作求积节点构造公式：令它对f(x)=1准确成立，即可定出A0=2.从而得到一点高斯公式：中矩形公式令它对f(x)=1,x准确成立，即可定出A0,A1可得两点高斯—勒让得公式为若取的零点作求积节点构造公式注：更高阶的公式见书p122。???请思考:高斯—勒让得公式
5、的求积区间是[-1，1]，那么对于任意求积区间[a,b]如何办？解作变换可以化到区间[-1，1]上，这时三、带权的高斯公式（更一般的表现形式）有时需要求如下带权的积分：称上述ρ(x)≥0是权函数。定义：若求积公式具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.高斯点我们类似的可有：定理是高斯点的充要条件：是区间[a,b]上带权ρ(x)正交的多项式。若[a,b]=[-1，1]，权函数为所建立的高斯公式切比雪夫—高斯公式称为切比雪夫—高斯公式。xk是切比雪夫多项式的零点。4.7.4Gauss-Chebyshelvquadratureformula
6、Remark1threetermrecurrenceformulav.s.Schmidtorthogonolization;Remark2Tnareperpendicularpolynomials;Atlast,we’llstatetheerrorestimationoftheGauss-Chebyshelvformulawithouttheproof:AccordingtotheerrorestimationoftheGauss-Typeformula,wehave:Consultthetableinp122.构造高斯公式的一般方法：1、构造正交
7、多项式，继而求其零点，再按插值求积公式获得高斯公式；2、待定系数法此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等。例如：---拉盖尔-高斯积分举例要构造下列形式的高斯公式解则其代数精度应为即求解…?!定理（稳定性）高斯求积公式的求积系数Ak>0.证明：事实上这表明高斯求积法是稳定的。关于积分余项和收敛性有：积分余项：收敛性：设f(x)∈C[a,b],则有：4.1NumericalDifferentiationHowever,(i)Thereisnoerrorestimation;(ii)Arethereanyothernumericalmethodsfor
8、ND?Howtoconstructthem&whatabouterror?Toanswerthesequestions,w
