高斯型求积公式

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1、第七章微积分的数值计算方法NumericalAnalysis17.3高斯型求积公式问题:是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式更高代数精度的求积公式?最高能达到多大?度234为具有一般性，研究带权积分求积公式为为不依赖于的求积系数.(1)为求积节点，可适当选取使（1）具有次代数精度.问题如果求积公式(1)具有次代数精度，则称其节点为高斯点，相应公式(1)称为高斯求积公式.定义5如何构造高斯求积公式？根据定义要使(1)具有次代数精度，只要对令(1)精确成立，可以由上式求出6试构造下列积分的高斯求积公式：例令公式(1)对于准确成立，由于非线性方程组，通常就很难求解.而从分析高斯

2、点的特性来构造高斯求积公式.7高斯点的基本特性尽管高斯点的确定原则上可以化为代数问题，但是由于所归结的方程组是非线性的，而它的求解存在实质性的困难，所以我们要从研究高斯点的基本特性着手解决高斯公式的构造问题。8高斯点与正交多项式的零点9（2）10是高斯点，因此，如果因即有故(2)成立.精确成立，则求积公式(1)对于充分性.用除，记商为余式为即,其中.对于由(2)可得证明必要性.设则（3）11由于求积公式(1)是插值型的，它对于是精确的，即再注意到知从而由(3)有12可见求积公式(1)对一切次数不超过的多项式均精确成立.因此，为高斯点.定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式(1)

3、的高斯点.有了求积节点，再利用对成立，解此方程则得的线性方程.则得到一组关于求积系数13Gauss型求积公式的构造方法(1)求出区间[a,b]上权函数为正交多项式pn+1(x).(2)求出pn+1(x)的n个零点x0,x1,…xn即为Gauss点.(3)计算积分系数。14常见的正交多项式及高斯求积公式勒让德多项式(Legendre)切比雪夫多项式(Chebyshev)拉盖尔多项式(Laguerre)埃尔米特多项式(Hermite)15高斯-勒让德求积公式162.Legendre多项式的性质:1718令它对准确成立，即可定出这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式.若取的零点作为节

4、点构造求积公式再取的两个零点构造求积公式19令它对都准确成立，有由此解出三点高斯-勒让德公式的形式是列出了高斯-勒让德求积公式的节点和系数.从而得到两点高斯-勒让德求积公式20nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.23861918610.17132449240.36076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150

5、.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±0.18343464250.10122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.568888888921高斯-切比雪夫求积公式222.Chebyshev多项式的性质:2324一般积分区间[a,b]的处理25高斯积分公

6、式的数值稳定性26Gauss求积公式的余项：/*设P为f的过x0…xn的插值多项式*/插值多项式的余项Q：什么样的插值多项式在x0…xn上有2n+1阶余项？27A：Hermite多项式！满足28