数值分析课件-高斯求积公式.ppt

《数值分析课件-高斯求积公式.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§5Gauss求积公式/*GaussQuadratureFormula*/Newton—Cotes求积公式中的求积节点是等距选取的，求积系数计算方便，但代数精度要受到限制；积分公式的一般形式：插值型的求积公式至少有n次代数精度，至多有多少次的代数精度？如何适当选取求积节点和求积系数，使求积公式达到最高的代数精度？一、Gauss积分问题的提法为了提高代数精度，需要适当选择求积节点:①当求积节点个数确定后，不管这些求积节点如何选取，求积公式的代数精度最高能达到多少？②具有最高代数精度的求积公式中求积节点如何选取？积分公式的一般形式：个求积节点，个求积系数，共个未知量，

2、需要个方程，因此可以取使公式精确成立，从而求出求积节点和系数。只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。形如的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。证明：令因为而故求积公式不能精确成立。下面讨论一般积分形式：其中为权函数构造积分公式（*）具有2n+1次代数精度。其中求积节点求积系数与被积函数无关如果一组节点，使得上述插值型求积公式具有2n+1次代数精度，则称该组节点为Gauss点，相应的公式为Gauss型求积公式。求积系数的特征：五点的Gauss求积公式具有多少次代数精度？例1：构造下列积分的Gauss求积公式：例题：分

3、析：因为n=1,所以Guass求积公式具有3次代数精度。分别取,得到关于的方程组，求解非线性方程组得到求积系数和求积节点。2n+2个未知数，2n+2个方程的非线性方程组由代数精度定义，当时，求积公式精确成立：问题：如何计算Gauss点及求积系数？方法一：从代数精度的定义出发，求解非线性方程组；方法二：两步走问题：如何计算Gauss点及求积系数？1.先确定Gauss求积节点2.计算求积系数①从代数精度的定义出发，求解线性方程组；或②用系数的表达式直接计算。二、Gauss求积公式的性质Gauss求积公式存在的条件插值型求积公式（*）的节点是Gauss点的充要条件是以这些

4、节点为零点的多项式与任何不超过n次的多项式带权正交:证明：必要性设则因为是Gauss点充分性对于其中即求积公式（*）对一切不超过2n+1次的多项式精确成立所以节点是Gauss点上述定理表明：上带权的n+1次正交多项式的零点就是求积公式（*）的Gauss点Gauss求积公式中求积系数的求法由代数精度定义，得到n+1阶线性方程组：设已知Gauss点或者Gauss求积公式的余项证明：设是满足下列条件的Hermite插值公式有2n+1次代数精度积分第一中值定理Gauss求积公式的稳定性Gauss型求积公式（*）总是稳定的。证明：只需证明：因为Gauss型求积公式（*）对所有

5、不超过2n+1次的多项式都精确成立：取是n次的Lagrange插值基函数Gauss求积公式的收敛性则Gauss型求积公式（*）是收敛的。设证明：由Weierstrass定理知对存在m次多项式满足下证当时三、Gauss求积公式的构造根据前面的讨论，只需要取n+1次正交多项式的n+1个零点为求积节点，构造的求积公式即为Gauss求积公式区间的转化问题任意区间经过下列变换可变为区间下面仅以Legendre多项式和Chebyshev多项式为例是首系数为的次正交多项式，权函数为Legendre正交多项式为不超过次的多项式在有个不同的实零点，且关于原点对称递推关系正交性奇偶性

6、Gauss-Legendre求积公式其中求积节点是n+1次Legendre多项式的零点求积系数可通过求解方程组得到，或者利用下式时，零点，构造求积公式：求：令，代入公式精确成立，得到：或一点Gauss-Legendre求积公式1次代数精度时，，零点构造求积公式：求：令，代入公式精确成立，得到：或两点Gauss-Legendre求积公式3次代数精度P147表5.5.1三点Gauss-Legendre求积公式5次代数精度例1：应用两点Gauss-Legendre求积公式计算积分解：作变换三点Gauss-Legendre求积公式例如：切比雪夫（Chebyshev）正交多项式系

7、：只含有的偶次幂，只含有的奇次幂。在[-1,1]内的n个零点和n+1个最值点为：见文献[13]Gauss-Chebyshev求积公式其中求积节点是n+1次Chebyshev多项式的零点求积系数例2：应用两点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解：作变换节点增加时需重新计算可以计算广义积分Newton—Cotes求积公式是等距节点的插值型求积公式，当n>7时计算不稳定；梯形求积公式和Simpson求积公式是低精度方法，但对于光滑性较差的被积函数有时比高精度方法能得到更好的效果。实际计算中一般采用复化求积公式。Ro