数值分析-(高斯公式)ppt课件.ppt

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1、一、高斯点定义：高斯公式机械求积公式含有2n+2个待定参数若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代数精度，则这类公式称为高斯公式。(4.1)???请回答:以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？答：除中矩形公式外都不是！定义：高斯点高斯公式的求积节点称为高斯点举例求[a,b]上的一点和二点高斯公式。解设一点高斯公式为则其代数精度应为即解得中矩形公式再设两点高斯公式为则其代数精度应为即这是关于四个未知数的非线性方程，难于求解高斯点具有以下性质：定理对于插值型求积公式(4.1)，其节点是高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不超过n的多项式P

2、(x)均正交，即启发：如何求高斯公式！证明先证必要性，即是高斯点设P(x)是任意次数不超过n的多项式，则P(x)ω(x)的次数不超过2n+1，因此应准确成立但故再证充分性。即是高斯点对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x),用除f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，即2n+1n+1nn由已知条件，ω(x)与P(x)正交，得由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具有n次代数精度，故对Q(x)能准确成立：再注意到ω(xk)=0，知Q(xk)=f(xk)，从而有于是由前面的推导知这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式均能准确成立，故xk是高斯点。定理给我们的启发：1

3、、求出[a,b]上与所有次数不超过n的多项式都正交的多项式ωn+1(x)。2、求出ωn+1(x)的n+1个零点就是高斯点。???请回答:[-1，1]上与所有次数不超过0的多项式都正交的多项式ω1(x)=？解：设P0(x)=C，ω1(x)=x–x0。由于即展开，得则一个点的高斯公式为中矩形公式二、高斯—勒让得公式特别地，取[a,b]=[-1,1]，其上高斯公式为：下面求对应的高斯点。由于勒让得多项式是[-1，1]上的正交多项式，因此勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。特殊地若取P1(x)=x的零点x0=0作节点构造求积公式令它对f(x)=1准确成立，即可定出A0=2.即一点高

4、斯公式为中矩形公式令它对f(x)=1,x准确成立，即可定出A0,A1可得两点高斯—勒让得公式为再取的零点作节点构造求积公式注：其它的高阶公式详见书。???请回答:高斯—勒让得公式仅适用于求积区间是[-1，1]，那么对于任意求积区间[a,b]如何求？解作变换可以化到区间[-1，1]上，这时三、带权的高斯公式定义：带权的高斯公式求积公式若该公式具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.上述ρ(x)≥0是权函数。高斯点定理是高斯点的充要条件是是区间[a,b]上关于ρ(x)的正交多项式。特殊的若[a,b]=[-1，1]，权函数是所建立的高斯公式为切比雪夫—高斯公式xk是切比雪夫

5、多项式的零点注意：运用正交多项式的零点构造高斯求积公式，这种方法只是针对某些特殊的权函数才有效。构造高斯公式的一般方法是待定系数法举例要构造下列形式的高斯公式解则其代数精度应为即作业：习题10，11此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！