《高斯公式》PPT课件

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1、第六节高斯公式一、高斯公式二、简单的应用三、物理意义—通量与散度四、小结思考题一、高斯公式格林公式：描述了在闭曲线L上的曲线积分与L所围闭区域D上的二重积分之间的关系。在空间闭曲面上，可以作曲面积分在所围空间闭区域上，可以做三重积分因此在上的曲面积分与在上的三重积分必存在某种联系。设是由分片光滑的有向闭曲面所围空间闭区域并假设（1）用平行于z轴的直线穿越的内部时，与的边界曲面交点恰好为两点。（2）取外侧。的形状如图所示取下侧，取上侧，母线平行于z轴的柱面，取外侧又设R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数。在xoy面上的投影区域为取下侧

2、，取上侧，取下侧，取上侧，假设（1）用平行于z轴的直线穿越的内部时，与的边界曲面交点恰好为两点。（2）取外侧。（3）R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数。同理，若用平行于x轴和y轴的直线穿越的内部时，与的边界曲面交点恰好为两点。P(x,y,z)，Q(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数。结论：假设条件（1）用平行于z轴的直线穿越的内部时，与的边界曲面交点恰好为两点。（2）取外侧。（3）R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数。结论：说明1.若不满足条件（1），则可类似于格林公式的情形进行处理。2.三式合并即为P、Q、R在上具有一阶连

3、续偏导数，则定理1:设是由分片光滑的有向闭曲面所围空间闭区域，其中，是的整个边界曲面，取外侧。是与的侧向一致的法向量的方向余弦，记则由两类曲面积分之间的关系，高斯公式又可写成高斯公式是计算第二类曲面积分的有效工具之一。例1：计算取外侧。解：分析：被积函数都是二次的，求偏导后变为一次则例1：计算取外侧。解：分析：被积函数都是二次的，求偏导后变为一次由对称性知例2：计算其中为锥面介于平面z=0及z=h（h>0）之间部分的下侧。是与的侧向一致的法向量的方向余弦。解：应用高斯公式时一定要注意条件（1）是分片光滑闭曲面（2）P、Q、R在上具有一阶连续偏导

4、数。补充：上侧在可以应用高斯公式。例2：计算其中为锥面介于平面z=0及z=h（h>0）之间部分的下侧。是与的侧向一致的法向量的方向余弦。解：在可以应用高斯公式。例2：计算其中为锥面介于平面z=0及z=h（h>0）之间部分的下侧。是与的侧向一致的法向量的方向余弦。解：例2：计算其中为锥面介于平面z=0及z=h（h>0）之间部分的下侧。是与的侧向一致的法向量的方向余弦。解：本题所用方法俗称“封口法”例3：计算其中取上侧。解：补充：下侧在可以应用高斯公式。例3：计算其中取上侧。解：例4：计算其中取外侧，解：分析：经计算可得故可考虑用高斯公式问题：P、Q、R

5、在内不连续以原点为中心作一小球取内侧在所围空间区域上满足高斯公式的条件。例4：计算其中取外侧，解：分析：经计算可得例4：计算其中取外侧，解：对于在所围的球上应用高斯公式二、物理意义----通量与散度1.通量的定义:沿场中某一有向曲面的第二类曲面积分称为该向量场通过曲面向着指定侧的通量（或流量）设有向量场是与的侧向一致的法向量的方向余弦，所以2.散度的定义:设有向量场称为该向量场的散度。记作即高斯公式这里取外侧或其中第十章　第六节作业习题106:2,3,4,8(1),9四、小结3．应用的条件4．物理意义2．高斯公式的实质1．高斯公式思考题曲面应满足什么

6、条件才能使高斯公式成立？思考题解答曲面应是分片光滑的闭曲面.练习题练习题答案