理学高斯公式ppt课件.ppt

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1、第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式二、通量与散度高斯公式*通量与散度一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数P,Q,R在面所围成,则有(Gauss公式)高斯的方向取外侧,证明:设称为XY-型区域,则定理1所以若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：定理1例1.用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原

2、式=及平面z=0,z=3所围空间思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?利用质心公式,注意例2.利用Gauss公式计算积分其中为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧,,,为法向量的方向角.所围区域为,则利用对称性（也可以用质心）思考:计算曲面积分提示:作取上侧的辅助面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.先二后一例3.设为曲面取上侧,求解:作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例4.设函数其中是整个边界面的外侧.注意:

3、高斯公式注意:高斯公式证:令由高斯公式得移项即得所证公式.二、通量与散度引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为若为方向向外的闭曲面,当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉（源）;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭

4、示场内任意点M处的特性,在式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义:设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作divergence显然表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场故它是无源场.说明:由引例

5、可知,散度是通量对体积的变化率,且散度意义例5.置于原点,电量为q的点电荷产生的场强为解:计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.例6.求向量场解:记穿过曲面流向上侧的通量,其中为柱面被平面截下的有限部分.则上侧的法向量为在上故所求通量为内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为(n为的单位法向量）思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1

6、)(2)为补充题设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则的夹角,积为V,高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.例3.计算其中D

7、是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.4.计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.提示:由于被积函数缺x,y,原式=利用“先二后一”计算方便.例4.计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,则注意方向例5.验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使例5.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则

8、计算较繁.例6.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.∴原式=原式=下侧取负例7.设函数解:在第四卦限连续