常微分方程常微分方程

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1、常微分方程常微分方程主讲胡平刘慧敏王胜军青海师范大学数学与信息科学系常常微微分方程课程分方程课程简介简介常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常

2、微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相

3、关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。指定教材指定教材及及参考文献参考文献n教材：《常微分方程》（第二版）东北师范大学微分方程教研室编高教出版社2005年n参考书：1.王柔怀、伍卓群，《常微分方程讲义》，人民教育出版社2.丁同仁、李承治，《常微分方程教程》，高等教育出版社3.王高雄,周之铭《常微分方程》高等教育出版社4.叶彦谦《常微分方程》人民教育出版社5.钱祥征《常微分方程解题方法》人民教育出版社主要内容主要内容第一章初等积方法第二章基本定理第三章线性微分方程组第四章线性微分方程第五章定性与稳定性概念知识模

4、块知识模块顺顺序和对应序和对应学时学时1.初等积分法:5类典型方程的解法；一阶隐方程的解法；几类可降阶的高阶方程的解法；一阶方程的应用。18学时2.基本定理：初值问题的解的存在唯一性；解的延展；解对初值与参数的连续性与可微性；奇解与包络。12学时3.线性微分方程组：通解的结构；常系数线性方程(组)的解法；常数变易法；首次积分。16学时4.高阶线性微分方程：通解的结构；常系数线性方程的解法；特征根法；待定系数法、拉氏变换法；幂级数解法。14学时5.定性与稳定性理论初步：解的稳定性；定性理论的基本概念；平面动力系统

5、。12学时第一章第一章初初等积分法等积分法11..11微微分方分方程和程和解解什么是微分方程？它是怎样产生的？本节介绍基本概念300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变

6、化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.v(0)=vv(0)=0v0※※微分方程微分方程模型模型n例1物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.n解：如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标是x.

7、于是物体下落的速度为v=v(t)加速度为所求x=x(t)还满足:x(0)=H,v(0)=v0质质量为量为mm的的物物体，体，在在下下落落的的任任一时一时刻所刻所受到受到的的外外力有力有重重力力mgmg和空和空气阻气阻力力，当，当速度速度不不太太大大时时，空，空气阻气阻力可力可取取为与为与速度速度成成正比正比..于于是是根根据据牛顿牛顿第二第二定律定律FF==mmaa((力力==质质量量××加速度加速度))可以可以列列出出方程方程（1.1）其其中中kk＞＞00为为阻阻尼尼系数，系数，gg是是重重力力加加速度速度.

8、.((11..1)1)式式就就是是一一个个微分微分方方程，程，这这里里tt是是自变自变量，量，xx是是未未知知函函数数..现现在在，，我我们们还还不不会会求求解解方程方程((11..1)1)，，但但是，是，如如果果考考虑虑kk=0=0的的情情形形，，即即自自由落由落体体运动，运动，此此时时方程方程((11..1)1)可可化为化为((11..2)2)将上式对将上式对tt积分积分两两次得次