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1、常微分方程常微分方程试题及参考答案导读：就爱阅读网友为您分享以下“常微分方程试题及参考答案”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g()中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x=9(t)
2、,P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y=(x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件(x0)=y0的解.则y=(x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t)+…+an-1(t)+an(t)x=0中ai(t)i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),
3、…，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t)应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3可化为与之等价的一阶方程
4、组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵expAt=________.13.9方程组的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程=.2.(6分)解方程x″(t)+=0.3.(6分)解方程(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：S″(t)-S(t)=t+1满足S(0)=1,(0)=2的解.6.(7分)求方程组的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：有奇点x1=1,x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证
5、明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，9试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞x+∞，且满足条件
6、f(x1)-f(x2)
7、≤N
8、x1-x2
9、,其中0N1,证明方程x=f(x)存在唯一的一个解.常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.12.2+c1t+c23.u=4.c为任意常数5.y=(x+1)4+c(x+1)26.y=y0+7.(x)=8.对任意t9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t10.x(t)=
10、c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)11.x1(1)=1,x2(1)=2,x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+9]13.焦点二、计算题（共45分）1.解：将方程分离变量为改写为等式两边积分得y-ln
11、1+y
12、=ln
13、x
14、-即y=ln或ey=2.解：令则得=0当0时-arccosy=t+c1y=cos(t+c1)即则x=sin(t+c1)+c2当=0时y=即x3.解：这里M=y-1-xy,N=x令9u=xye-xu关于x求偏导数得与Me-x=ye-x-e-x-xye-x相比有则因此u=xye-x
15、+e-x方程的解为xye-x+e-x=c4.解：方程改写为这是伯努利方程，令z=y1-2=y-1代入方程得解方程z==于是有或5.特征方程为特征根为对应齐线性方程的通解为s(t)=c1et+c2e-tf(t)=t+1,不是特征方程的根从而方程有特解=（At+B）,代入方程得9-(At+B)=t+1两边比较同次幂系数得A=B=-1故通解为S(t)=c1et+c2e-t-(t+1)据初始条件得c1=因此所求解为：S(t)=6.解：系数矩阵A=则，而det特征方程det()=0,有特征根对对对因此基解矩阵7.解：因故x1=1，x2=0
16、是方程组奇点令X1=x1-1,X2=x2,即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*这里R(X)=,显然（当时）方程组*中，线性部分矩阵det(A-)=由det(A-)=09得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(
