常微分方程试题及参考答案

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1、常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g()中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x=(t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y= 

2、(x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t) +…+an-1(t) +an(t)x=0  中ai(t)  i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t)应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-

3、2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵expAt=________.

4、13.方程组  的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程   =.2.(6分)解方程   x″(t)+ =0.3.(6分)解方程   (y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：     S″(t)-S(t)=t+1  满足S(0)=1,(0)=2的解.6.(7分)求方程组 的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：   有奇点x1=1,x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程     dy-f(x,y

5、)dx=0 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞

6、f(x1)-f(x2)

7、≤N

8、x1-x2

9、,其中0

10、)11.    x1(1)=1,x2(1)=2,x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+]13.焦点二、计算题（共45分）1. 解：将方程分离变量为        改写为      等式两边积分得      y-ln

11、1+y

12、=ln

13、x

14、- 即 y=ln  或   ey=2. 解：令 则得      =0 当0时      -     arccosy=t+c1     y=cos(t+c1)    即    则x=sin(t+c1)+c2  当=0时    y= 即x 3. 解：这里M=y-1-xy, N=

15、x    令u=xye-x u关于x求偏导数得 与Me-x=ye-x-e-x-xye-x     相比有            则                 因此       u=xye-x+e-x 方程的解为   xye-x+e-x=c4. 解：方程改写为      这是伯努利方程，令     z=y1-2=y-1    代入方程 得  解方程  z=           = 于是有       或 5. 特征方程为      特征根为  对应齐线性方程的通解为s(t)=c1et+c2e-t    f(t)=t+1, 不

16、是特征方程的根 从而方程有特解=（At+B）,代入方程得  -(At+B)=t+1 两边比较同次幂系数得     A=B=-1 故通解为 S(t)=c1et+c2e-t-(t+1)  据初始条件得    c1= 因此所求解为：S(t)=6. 解：系数矩阵A=则，