常微分方程秋模拟试题参考答案

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1、中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期期末考试数学与应用数学2003（春）级第三学期常微分方程试题答案及评分标准（供参考）2004年7月一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2．3．，（或不含x轴的上半平面）4．充分5．没有二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D7．B8．A9．C10．D三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解令，则，代入原方程，得，（2分）当时，分离变量，再积分，得（4分）即通积分为：（6分）12．解齐次方程的通解为（2分）令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出（5分）原方程的通解为+（6分）13．解积分因

2、子为（3分）4/4原方程的通积分为即（6分）14．解令，则原方程的参数形式为（2分）由基本关系式，有（4分）积分得得原方程参数形式通解为（6分）15．解原方程可化为（2分）于是（4分）积分得通积分为（6分）四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．解对应的齐次方程的特征方程为：特征根为：故齐次方程的通解为：（4分）因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为（6分）4/4代入原方程，有，可解出．故原方程的通解为（10分）17．解方程组的特征方程为即特征根为，（2分）对应的解为其中是对应的特征向量的分量，满足可解得．（5分）同样可算出对应的特征向量分量为

3、．（8分）所以，原方程组的通解为（10分）五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．（2分）显然是方程的两个常数解．（4分）任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．（10分）4/419．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．（2分）显然，该方程有零解．（5分）假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有=0

4、，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件=0，于是由解的惟一性，有．这与是非零解矛盾．（10分）4/4