常微分方程秋模拟试题参考答案

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1、中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期期末考试数学与应用数学2003(春)级第三学期常微分方程试题答案及评分标准(供参考)2004年7月一、填空题(每小题3分,本题共15分)1.2.3.,(或不含x轴的上半平面)4.充分5.没有二、单项选择题(每小题3分,本题共15分)6.D7.B8.A9.C10.D三、计算题(每小题6分,本题共30分)11.解令,则,代入原方程,得,(2分)当时,分离变量,再积分,得(4分)即通积分为:(6分)12.解齐次方程的通解为(2分)令非齐次方程的特解为代入原方程,确定出(5分)原方程的通解为+(6分)13.解积分因

2、子为(3分)4/4原方程的通积分为即(6分)14.解令,则原方程的参数形式为(2分)由基本关系式,有(4分)积分得得原方程参数形式通解为(6分)15.解原方程可化为(2分)于是(4分)积分得通积分为(6分)四、计算题(每小题10分,本题共20分)16.解对应的齐次方程的特征方程为:特征根为:故齐次方程的通解为:(4分)因为是单特征根.所以,设非齐次方程的特解为(6分)4/4代入原方程,有,可解出.故原方程的通解为(10分)17.解方程组的特征方程为即特征根为,(2分)对应的解为其中是对应的特征向量的分量,满足可解得.(5分)同样可算出对应的特征向量分量为

3、.(8分)所以,原方程组的通解为(10分)五、证明题(每小题10分,本题共20分)18.证明由已知条件,该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件.(2分)显然是方程的两个常数解.(4分)任取初值,其中,.记过该点的解为,由上面分析可知,一方面可以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过,下方不能穿过,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为.(10分)4/419.证明由已知条件可知,该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件,且任一解的存在区间都是.(2分)显然,该方程有零解.(5分)假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切,即有=0

4、,那么由解的惟一性及该方程有零解可知,这是因为零解也满足初值条件=0,于是由解的惟一性,有.这与是非零解矛盾.(10分)4/4

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