常微分方程10秋模拟试题参考解答.doc

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1、常微分方程10秋模拟试题参考解答一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2．全平面3．4．线性无关5．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．A7．D8．C9．B10．A三、计算题（每小题8分，本题共40分）11．解分离变量积分，得（4分）即通积分为（8分）12．解将方程改写为，令，则，代入上式得（4分）分离变量积分得．原方程的通积分为．（8分）13．解因为（3分）方程是全微分方程，取（5分）原方程的通积分为（6分）即（8分）14．解克莱洛方程，通解为：（8分）15．解令代入方程，得．（2分）分离变量，

2、积分（5分）于是．积分，得通解为（8分）四、计算题（本题共15分）16．解特征方程（5分）特征根（7分）对应的特征向量为对应的特征向量为（12分）原方程的通解为：（15分）五、证明题（本题共15分）17．证明因为在上连续，及在上连续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理．（6分）又显然是方程的常数解．（9分）现设是方程的任一解,若其初值在常数解上,则由解的惟一性，的存在区间必为．若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一性和解的延展定理，可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个

3、常数解，故其存在区间必为．（15分）