常微分方程试题及解答.doc

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1、常微分期终测试卷(四)一、填空题1、（）称为变量分离方程,它有积分因子()。２、当（　　　　　　　　）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。３、函数称为在矩形域Ｒ上关于满足利普希兹条件，如果（　　　　　　）。４、对毕卡逼近序列，。５、解线性方程的常用方法有（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）。６、若为齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（　　　　　　　　　　　　　　　）。７、方程组（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）。８、若和都是的基解矩阵，则和具有关系：（　　　　　　）。９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，

2、则当其实部（　　　　）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（　　　　）。１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（　　　　　　）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（　　　　　）。当（　　　　　）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（　　　　　　　　　　　）。１１、若是的基解矩阵，则满足的解（　　　　　　　　　）。二、计算题求下列方程的通解。１、。２、。３、求方程通过的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。４、。５、。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：６、。三、证明题。１、设为方程（Ａ为常数矩阵）的标

3、准基解矩阵（即，证明其中为某一值。答案一、填空题１、形如的方程　　　　　２、　３、存在常数Ｌ>0，对于所有都有使得不等式成立４、５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法６、，其中是任意常数７、个线性无关的解称之为的一个基本解组８、＝为非奇异常数矩阵９、等于零稳定中心１０、两根同号且均为负实数　　稳定结点　　两根异号或两根同号且均为正实数　　不稳定鞍点或不稳定结点１１、二、计算题１、解：方程可化为　　　　令，得　　　　由一阶线性方程的求解公式，得　　　　所以原方程为：＝１、解：设，则有，从而　，故方程的解为，另外也是方程的解２、解：　　　　

4、　　　　　　　　３、解：对应的特征方程为：，解得　　　　所以方程的通解为：４、解：齐线性方程的特征方程为，解得，故齐线性方程的基本解组为：，因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解为１、解：解得　所以奇点为（　经变换，　　　　方程组化为　因为又　所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。一、证明题１、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以　　　也是方程的基解矩阵，且也是方程　的基解矩阵，且都满足初始条件，所以