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时间：2018-12-23
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1、2007常微分方程试题解答一、填空题：（每题4分，共20分）1．n阶常微分方程的初值条件可表示为（）。2．设方程定义在带形区域中，其中为正数，则通过的解的存在区间是（）。3.二阶常系数线性微分方程当系数满足条件()时,此方程的所有解有界。4．若常系数线性方程组e有一解为，则数和向量满足(，)。5．方程的通解形式为（）二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：（每题10分，共50分）1．解[1]因为，所以，即.令，则，因此，,从而由得到原方程的通解为.解[2]2解方程可变为，其为克莱罗微分方程.所以通解为（为任意的常数）.又由得到奇解，3解令，则.从而，即.于是（为任意常数
2、。）4．解先求齐次方程的通解。因为，所以，从而，所以原方程的通解为.又由得，，。从而特解为5．解[1]由的特征方程为得，是的特征值。当时，由方程组.其中，得，当时，同理可得，当时，同理可得.令，则有原方程组的通解为，（为任意常列向量）.三、证明题(共20分)设方程组有一个非零解，其中，证明方程组经变换，，可化为关于个未知函数的线性方程组，它只含个方程，且不含。利用所得结果求方程组的通解，已知它有解.（1）证明：当时，由可得到当时，由可得到，由上面可知可以由线性表出.证毕.（2）解将上题的结论可知从而解得又（为任意常数）从而解得再将之代入变换式可知显然这两组解是线性无关的，即
3、原方程的通解为四、综合题：(共10分)设为连续函数，且满足，求。解显然为积分方程，对其两端关于求导得，，（1）从而，.由积分方程和（1）可得，.因此，原方程和初值问题等价,解得通解为.从而，满足初始条件的解为.
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