常微分方程试题(1)及解答

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1、常微分期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（　　　　）。有只含的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若和都是的基解矩

2、阵，则和具有的关系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、解答题（６０％）1、２、３、若试求方程组的解并求expAt４、５、求方程经过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。　　　　　　　　　试卷答案一填空题１、　　　　２、　　　　　　　　３、　　　　　　　４、５、６、　７、零　　　　　　稳定中心二计算题１、解：因为，

3、所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解２、线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为３、解：解得此时k=1由公式expAt=得４、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解５、解：６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、证明题由解的存在唯一性定理

4、知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。