常微分方程习题3[1].1解答.doc

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1、习题3.11.试用变量分离法求下列一阶微分方程的解.(1)解:分离变量得,两边积分得原方程的通解为(2)解:分离变量得,两边积分得原方程的通解为.也是原方程的解.(3)解:分离变量得,两边积分得原方程的通解为或(4)解:分离变量得,即.两边积分得,通解为(5)解:分离变量得,积分得,通解为.(6)解:分离变量得,积分得微分方程的通解为(7)解:分离变量得,积分得原方程的通解为.另外,也是解.6(8)解:分离变量得,积分得原方程的通解为另外,也是解.1.作适当的变量变换求解下列方程.(1)解:令,原方程变形为,分离变量得,积分得,原方程的通解为(2)解:令,原方程变形为,分离变

2、量得,积分得,原方程的通解为.(3)解:令得作代换,原方程变为齐次方程,再令,该齐次方程变为,分离变量得,两端积分得,原方程的通解为(4)解:令,原方程变形为,分离变量得,原方程的通解为.(5)解:原方程即,作代换,令,方程变为6,分离变量得,原方程的通解为(6);解:原方程即,令,方程变为齐次方程再令,后一方程又变为,积分得整理并代换变量得原方程的解散为:.(7)解:原方程即,亦即(1)令,(1)式可变为(2)作代换,(2)式变为(3)作代换,(3)式变为,分离变量得(4)(4)式两端积分得,整理并代回变量得原方程的通解为1.已知,试求函数的一般表达式.解：原方程变形为，两

3、端求导得，并由已知式子可知。求解该微分方程有，且，故4．求下列初值问题的解。(1)6解:所给方程的通解为,满足初值条件的特解为(2)解:原方程变形为,通解为,特解为(3)解:原方程变形为,通解为,特解为(4)解:原方程变形为,通解为,特解为(5)解:原方程变形为,通解为.特解为(6)解:5.证明方程经过变换可化为变量分离方程,并由此求解下列方程:(1)(2)证明:作变换,方程可变为,该方程为可分离变量的微分方程.(1)作变换,方程可变为,即其通解为,即(2)作变换,方程可变为,即,其通解为6,即原方程的通解为6.一曲线经过点,它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分,试求该曲

4、线方程.解:设所求曲线方程为,切点为,则切线方程为.切线与轴的交点分别为,由中点坐标公式有,其通解为,所求曲线为补题7．设对任意均有，且，求解:由已知易得,故即,从而8．设函数在上连续，存在且满足关系式，试求此函数.解:由已知可得解得,再利用可得9．已知，求解:已知方程左端作变量代换,方程可变为,即,两端求导整理得微分方程:,其解为610．当和取何值时，利用代换可以把方程化为齐次方程？解：在代换的作用下,方程变为,即,要使该方程为齐次方程,则6