常微分习题解答1.pdf

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1、第一章初等积分法1.1微分方程和解1、指出下列微分方程的阶数：dy23（1）=+yx；一阶二次dx23ddy（2）=+xarcsinx；二阶一次；23ddxx23dy（3）y+=10；二阶四次；2dx12⎛⎞dx（4）⎜⎟=4；一阶二次；⎝⎠dy432dddyyy（5）−+=20；四阶一次。432dddxxx2、验证给出的函数是否为相应微分方程的解：32dy2xx（1）535=+xx，y=++C。是。dx52dy∫pxx()d（2）=p()xy，p()x连续，yc=e。是。dx222cx−（3）()xyxxy++=dd0，y=。2x222xycx=−，2d2dxyy+xx=−

2、2dx，是。221（4）y′′=+xy，y=。否。x31.2变量可分离方程dy方程=f()()xgy有特解和通解：dxA）gy()0=；dyB）gy()0≠时，∫∫=f()dxxC+；gy()⎧dy⎪=f()()xgy初值问题⎨dx：对A）验证，对B）求待定常数⎪yx()=y⎩004MxNyxPxQyy()()d+=()()d0有特解和通解：A）Ny()0=或Px()0=；B）Ny()0≠且Px()0≠Mx()Qy()∫∫ddx+=yCPx()Ny()51．求下列变量可分离方程的通解：1）yddyxx=22解：由原方程，得y=xC+dy2）=ylnydx解：由原方程，得y=0

3、或y=1为特解dyyy(1−)0≠时，有=dxyyln6x故ln

4、ln

5、yxc=+既lny=Ce其中C≠0x所以原方程的解为y=0或lny=Cedyx−y3）=edxyxyx解：edy=edx，ee=+C4）tandyx−=cotdxy0π解：y=kπ，xk=+π；tandxx−cotdyy=027d(lncosxy+=lnsin)0；sincosyxC=dy25）=yxcosdxdy1解：y≡0，或=cosdxx；−=+sinxC2yy2．求下列方程满足给定初始条件的解：dy1）=−yy(1),(y0)1=dxdy解：首先考虑=−yy(1)；显然y=0或y=1为它的特解dx

6、8dyddyy另外，当y≠0且y≠1时=dx既−=dxyy(1−)yy−1y−1所以ln=+xcy再考虑初始条件，故原初值问题的解为y=1222）(1xyx−+=)20′yy,(0)1=d2yxdx12解：+=0，−+−ln

7、x1

8、=C得C=−122yx−1y92因此yx(ln

9、−+=1

10、1)1323）yy′==3,y(2)03解：y=0或y=+()xC得C=−2，3⎧()xCxC+≥,yC=≥⎨(2)⎩0,xC<22224）()yx+−yxxyd()+==xyyd0,(1)−122解：整理原方程得yx(1+)dx−+=xy(1)dy0；10−−21−−21()xxxyyy+

11、d−+()d=0−−11ln

12、

13、x−−xyln

14、

15、+=yC得C=−23、利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程：dy（1）=+f()axbyc+；dx解：ua=++xbyc，uab''(=+=+yabfu)d1y（2）=f()xy；2dxxufu+()解：ux=y，uyx''=+=y。x11dy⎛⎞y（3）=xf⎜⎟；2dx⎝⎠xy2'(yyfuu)−2解：u=，u'=−+=。232xxxx（4）fxyygxyxy()+=()'0，f()ug≠()u，f,g连续。uu⎛⎞解：ux=y，uyx''=+y，fu()+guu()'⎜⎟−=0，xx⎝⎠u()fugu()−+=()

16、guu()'0。x12224、求解方程xy1d1d0−+−=xyxy解：

17、

18、1xyyx=≤=≤,(

19、

20、1)

21、

22、1或,(

23、

24、1)xxddyy22+=0；11−x+−=yC2211−−xy5．求一曲线，使其上每一点的切线斜率为该点横坐标的两倍，且通过点（3，4）。dy2解=2,(3)4xy=，yx=−5dx6．求一曲线，使其具有如下性质：曲线上各点的切线，切点到原点的向径及x轴围成一个等腰三角形（以x轴为底），且通13过点（1，2）。dy解：=−y/xlny+lnxc=；xy=CC,2=dx7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。1）如果过4小时的细菌数既为原细菌数的2

25、倍，那么经过12小时应有多少？42）如在3小时的时候，有细菌10个，那么在开始时有多少个细菌？dykx解：1）=kx，yy=0edx41kk2y(4)=⇔=⇒==2yye2(12)ye8y00014yy(5)kk(53)−2(3)2）=⇒=ee4⇒y==125003ky(3)e151.3齐次方程dy⎛⎞yyd(zfzz)−=f⎜⎟，令z=；=，变量可分离dx⎝⎠xxdxxdy⎛⎞axbyc++111方程=f⎜⎟，dx⎝⎠axbyc++2221）abab::≠，1122⎧ax++=byc010101⎨；令