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1、《常微分方程》习题解篆东北师范大学微分方程教研室（第二版）高等教育出版社习题1.21求下列可分离变量微分方程的通解:(1)ydy-xdx解:积分，得异十+—⑵半"2ax解：y=0,y=1为特解，当yHO,yHl吋，二dx,ylny积分，得ln
2、lny
3、=x+C],Iny=±ec'ex=cexchO,即y=ece(3)字=严ax解：变形得eydy=exdx积分，得(4)tanydx-cotxdy=0解：变形得©二匹，尸0为特解，当"0时，沁心匸沁处dxcotxsinycosx积分,得ln
4、siny
5、=—ln
6、cosx
7、
8、+q,ln
9、sinycosx
10、=c{,即sinycosx=±eC[=c,cH02.求下列方程满足给定初值条件的解：(1)牛=y(y-i),y(0)=idx解：y-0,y=l为特解，当y0,yHl时，(一!—)dy=dx,yjy积分，得In~=x+q,-~=±eCiex=cex0Iy丨y将y(0)=1代入，得C=0,即y=l为所求的解。⑵(F一1)/+2xy2=0,y(0)=1解：型二—学1,y=o为特解，当yHO时，卑=—必，dxx2-y2x2-l积分，得一丄=—ln兀'—I+cy将y(O)=l代入，得c=-1
11、,为所求的解C(3)y，=3^^~,y(2)=0解：y=0为特解，当yHO时，~^Y=dx,3声积分，得〉"=x+c,y=(%+c)3将X2)=0代入，得c=—2,即y=(x-2)3和y=0均为所求的解。(4)(y2+xy2)dx-{x24-yx2)dy=0,y(l)=-1解：x=0,y=0为特解，当兀0吋，^^dx-1+;Ady=0,厂)厂11丄一丄丄_1积分，得lnlxllnlyl=cp—=±eClexy=cex>',cH0xyy_L_L将y(l)=—1代入，得C=—幺一2,即兰=_尸訂庁为所求的解。y4.求解
12、方程x^-y2dx+1-x2dy=0解：x=±l(-l0)6.求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以X轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为y=y(x)对其上任一点(x,y)的切线方程：Y-y=y(X-x)于x轴上的截距为a=x-^-由题意建立方程：yx-—-x=x-0即y'=,y(l)=2求得方程的通解为xy=Z,CH0再由
13、2=ec得c=In2,得所求曲线为为xy=26.人工繁殖细菌，其增长速度和当吋的细菌数成正比(1)如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？(2)如果在3小时时的细菌数为得1()4个，在5小时时的细菌数为得4X10°个，那么在开始时有多少个细菌？解：设t时刻的细菌数为q(t),由题意建立微分方程四二切k>0dt求解方程得q=cekt再设(二()时，细菌数为％,求得方程的解为q=q.ekl(1)由g⑷=2%即q.e4k=2q.得k=—12昨広12)=%»"=%£4=8%(2)由条件g(3)=%)€
14、'"=IO",q(5)=q{)e5k=4xl04In4比较两式得k二——23山4再由g(3)=qoe3k=q°e2=8^0=104得=1.25xl03习题1.31解下列方程：⑵一2小)力+/心=0解：方程改写为冬=2&)-(丄)2dxxx有U+凹dx2u—ic令—,C］兀c{x-整理为(丄一一)du=—(/心0,1)uu-x代回变量，得通解x(y-x)=cy,y=0也是方程的解(4)xyf-y=xtan—解：方程改写为^--2=tan^dxxx人y士dusinwnn.dx..小令u=—，有兀一=tanw=即co
15、tudu=一(sinu0)无dxcos%x积分，得sinu=ex代回变量，得通解sin^=cxX+V(4)xyf-y=(x+y)Inx解：方程改写为©-h(l+』)ln£±2clxXXX令u=—，有x—=(l+w)ln(l+w)无dx当u05u—1时du_dx(1+w)ln(l+w)x积分，得ln(l+w)=ex代回变量，得通解ln(l+』)=cxX(5)xy，=k+『解：方程改写为©二jl_£)2+丄dxxx令"二上，有X—=71-w2分离变量,du=—(―1VMV1)兀dxVl-W2x积分，得arcsinu=
16、Inex代回变量，得通解arcsin—=Inex,y=±x也是方程的解2解卜列方程：(1)(2x-4y+6)6k+(x+y-3)dy=0解：方程改写为字=4.y-2x-6dx兀+y—3一2g+40=Oq+0—3=O解得a=1,0=2作变换兀二$+1,y二〃+2有缪=4〃_予必〃+<再令u=^上方程可化为讥建=出匸29dQ1+m整理为一——du=-^-（«工1
