常微分方程课程作业4解答

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1、常微分方程课程作业4解答1.解答：证：首先，方程的任意两个线性无关解的郎斯基行列式在区间I上恒不为零。可表如下，为区间I上任一点。由于，在区间I上连续、恒不为零。故在区间I上恒不为零，即同号。此即（与同号）在区间I上不变号。亦即在区间I上严格单调。2.解答：证：设二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的郎斯基行列式分别为：a,b分别为这两个行列式在某一点的值。由于线性无关解组的行列式恒不为零。故a,b都不为零。两个行列式之比或为非零常数。3.解答：方程可变为通解为：以代入得====1.解答：或显然当为常数时

2、，（比如=0就能如此）其基本解组的郎斯基行列式为常数。2.解答：（1）方程的特征方程为特征根为所以方程的通解为，其中为任意常数。（2）方程的特征方程为特征根为所以方程的通解为，其中，为任意常数。（3）方程的特征方程为特征根为所以方程的通解为，其中，为任意常数。3.解答：（1）方程的特征方程为特征根为所以方程的通解为，其中为任意常数。以代入下两式，得所以方程满足初始条件的解为（1）方程的特征方程为特征根为所以方程的通解为，其中为任意常数。以代入下两式得所以方程满足初始条件的解为2.解答：（1）齐次方程的特征方

3、程为特征根为通解为，其中为任意常数。令代入比较同次项系数得所以方程的通解为（2）齐次方程的特征方程为特征根为通解为，其中为任意常数。令代入比较同次项系数得所以方程的通解为（3）齐次方程的特征方程为特征根为通解为，其中为任意常数。令代入比较同次项系数得所以方程的通解为1.解答：由f=－kx以f=－9.8,x=1得k=9.8又得即特征方程为特征根为通解为，其中为任意常数。令，，则有所求周期为2.解答：由得即的特征方程为特征根为通解为，其中为任意常数。令代入得故的通解为以t=0,x=0,x/=0代入下两式，所以质

4、点的运动规律为：