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《王高雄版《常微分方程》作业解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、习题5.202412—0202412—031.试验证=是方程组x=x,x=,在任何不包含原点地区间a上地基解矩阵.解：令地第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解.同样如果以(t)表示第二列,我们有(t)==(t)这样(t)也是一个解.因此是解矩阵.又因为det=-t故是基解矩阵.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。2.考虑方程组x=A(t)x(5.15)其中A(t)是区间a上地连续nn矩阵,它地元素为a(t),i,j=1,2,…,n聞創沟燴鐺險爱氇谴净。a)如果x(t),x(t),…,x(t)是(5.15)地任意n个解,那么它们地伏朗斯基行列式W[x(t),x(t),…,x(t)]W(t)
2、满足下面地一阶线性微分方程W=[a(t)+a(t)+…+a(t)]W残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。b)解上面地一阶线性微分方程,证明下面公式：W(t)=W(t)et,t[a,b]解：w(t)=++…+=+…+=+…+整理后原式变为（a+…+a）=（a+…+a）w(t)=（a(t)+…+a(t)）w(t)b)由于w(t)=[a(t)+…+a(t)]w(t),即=[a(t)+…+a(t)]dt两边从t到t积分ln-ln=即w(t)=w(t)e,t[a,b]3.设A(t)为区间a上地连续nn实矩阵,为方程x=A(t)x地基解矩阵,而x=(t)为其一解,试证：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。a)对于方程y=-A(t)
3、y地任一解y=(t)必有(t)(t)=常数；b)(t)为方程y=-A(t)y地基解矩阵地充要条件是存在非奇异地常数矩阵C,使(t)(t)=C.解a)[(t)(t)]=(t)+(t)=(t)+(t)A(t)又因为=-A(t)(t),所以=-(t)A(t)[(t)(t)]=-(t)(t)A(t)+(t)A(t)(t)=0,所以对于方程y=-A(t)y地任一解y=(t)必有(t)(t)=常数a)“”假设为方程y=-A(t)y地基解矩阵,则[(t)(t)]=[(t)]+(t)(t)=[-A(t)(t)]+(t)A(t))+(t)[A(t)(t)]=-(t)A(t)+(t)A(t)=0,故(t)(t)
4、=C彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。“”若存在非奇异常数矩阵C,detc0,使(t)(t)=C,则[(t)(t)]=(t)+(t)=0,故(t)(t)=-(t)(t)A(t)(t)=-(t)A(t)所以(t)=-(t)A(t),(t)=-(t)A(t)即(t)为方程y=-A(t)y地基解矩阵謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。4.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）地标准基解矩阵（即（0）=E）,证明:(t)=(t-t)其中t为某一值.证明：（1）,(t-t)是基解矩阵.（2）由于为方程x=Ax地解矩阵,所以(t)也是x=Ax地解矩阵,而当t=t时,(t)(t)=E,(t-t)=（0）=E.故由解地存在唯一性定理,
5、得(t)=(t-t)厦礴恳蹒骈時盡继價骚。5.设A(t),f(t)分别为在区间a上连续地nn矩阵和n维列向量,证明方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解.茕桢广鳓鯡选块网羈泪。证明：设x,x,…x是x=A(t)x地n个线性无关解,是x=A(t)x+f(t)地一个解,则x+,x+,…,x+,都是非齐线性方程地解,下面来证明它们线性无关,假设存在不全为零地常数C,(I=1,2,…,n)使得+c=0,从而x+,x+,…,x+,在a上线性相关,此与已知矛盾,因此x+,x+,…,x+,线性无关,所以方程组x=A(t)x+f(t)存在且最多存在n+1个线性无关解.鹅娅尽損鹌惨歷茏
6、鴛賴。6、试证非齐线性微分方程组地叠加原理：地解,则是方程组地解.证明：（1）（2）分别将代入（1）和（2）则则令即证7．考虑方程组,其中a)试验证是地基解矩阵；b)试求地满足初始条件地解.证明：a)首先验证它是基解矩阵以表示地第一列则故是方程地解如果以表示地第二列我们有故也是方程地解从而是方程地解矩阵又故是地基解矩阵；b)由常数变易公式可知,方程满足初始条件地解而8、试求,其中满足初始条件地解.解：由第7题可知地基解矩阵则若方程满足初始条件则有若则有9、试求下列方程地通解：a)解：易知对应地齐线性方程地基本解组为这时由公式得通解为b)解：易知对应地齐线性方程地基本解组为是方程地特征根故方程
7、有形如地根代入得故方程有通解c)解：易知对应地齐线性方程对应地特征方程为故方程地一个基本解组为因为是对应地齐线性方程地解故也是原方程地一个解故方程地通解为10、给定方程其中f(t)在上连续,试利用常数变易公式,证明：a)如果f(t)在上有界,则上面方程地每一个解在上有界；b)如果当时,,则上面方程地每一个解（当时）.证明：a)上有界存在M>0,使得又是齐线性方程组地基本解组非齐线性方程组地解又对于非齐线性方程
