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1、附表xj-03：广东商学院试题参考答案及评分标准2010-2011学年第1学期课程名称常微分方程课程代码课程负责人常微分方程A卷答案一、填空题（每空填对得3分，填错或者不填不得分）19_2t5_4r1、x=—e—e222、二3、-2o1+Q5、—=u（填—=u也可以得3分）y兀6、充分条件7、n二、选择题（每题选对得3分，选错或者不选不得分）8、A9、A10、A11、A12、B13、B14、B15、D三、求下列各微分方程的通解或在初始条件下的特解1:解：（xy+1））匕兀一xdy=0化为ydx一xdy+xy2dx=02分从而炖一2讪+皿=°5分y+=08分于是通解为-+-x2=C.10分y22
2、:解空=2+COS』，y(0)=ldxxx令况=丄，贝【Jy二比x,于是y'二u'x+u.x从而u'x+u二u+cos纭，得到u'X=cos2u化为du9cos「udxx两边积分得到fgu=In
3、x
4、+C于是原方程的解为tg上=In
5、«x
6、+CX从y(l)=0推出C=0,得到求的解为tg2=ln
7、x
8、・x四、求下列微分方程2分6分8分10分d.r-drd3一&Y——」<解■‘=x+2y=4x+3y2、：1)A二人o(43A-l-2-4A-3=0得到=5,-1对于2=-1,得到=0r-2-2k-4-4得到P-2、仙、<-42丿对于2=5,=0得到基解矩阵①⑴⑵从⑴得到于是满足0(0)=〃的解为n
9、1>/3321J~3>1/丄2—e+—e332/2—e—e3315z1—e——e3325Z1-e+_£3333-e5r--^33F、4丿(—5,2r+-<、厂f%+<1—(3丿<33‘2—5,2?<、"1+‘2—0+匕<33丿•1<33丿133—€H—33〃2.5分〃2⑶fcLr一Idrld}-d=x+2y+R=4x+3yt0(/)=expA(/-/())〃+jexpA(t-s)f(s)dso(0)f(=expAt]+JexpA(r-5)ds、-丿0"15,2-e+_g332/2.—e—e3(i?332严)—2£<313t+J03丿0、1丿3+丄严"3、-r-e5t--e3亠1-/v—e+
10、—w3丿-e5(t~s)3*一$)332』3'-d)，一(/-s)ds((i2、_L丹一$)+兰严-$)、33/+f<33丿2/亠1戶—e+—e+J0(99、-e5{,~s)-—(33丿k<33丿/32—e-e^e^ds^-e^^ds3()3o-e5te-4sds--e-te2sds13o3o7)五、求下列微分方程(二阶常系数齐次)、⑴解：严-2)/+尸戶齐次方程y''-2y'+y=0才―22+1=0,2=1是二重根通解为y=C]d+Cg/N・4分令y二疋+C20W是原方程的解则才二C]W+C2+C]⑴N+C2(t)e'+C2(t)tel令C,W+C2t)ter=0.6分则y'=G⑴R+
11、C^e1+C2(t)tel于是y”=C,t}el+C,(t)e1+C2W+C2(t)el++C2(t)e1+C2(t)tef代入原方程得到C,W+G(/疋+C2t)el+C2(t)el+C2t)te{+C2(t)ef+C2⑴加-2(C,(t)el+C?(f)”+C2⑴加)+C,("+C?⑴©=e21化为C,W+C2W+C2t)te{=己.从而得到[8分[C{Xt)er+C2t)(er+ter)=e2t,解之得C2t)=eClt)=tel・得至Ca)=R,CQM_/y=C}el+C2tel+(加一N)d+沧刃为原方程的通角笔10分六、证明题(本题10分)21.设q)a),……，色
12、a),f(t)(工0)分别为在区间g,b]上的连续函数，证明：(1)n阶微分方程卅)+兔(小心)+......+%(f)兀二/⑴有n+1个线性无关的解；(2)方程组的任意n+2个解必线性相关。证明:(1)因为°0(0,……，色⑴是连续函数，所以x{n)+do(/)*i++cz”(f)x=O有〃个线性无关解，记为舜,无2，……，£・因为兔⑴,……⑴,f⑴是连续函数，所以x(n}+aQ(t)x(n~])++an(t)x=f(t)有解，记为俠/)•于是£+0花+0，……，暫+0，强原方程的n+1个解.设4(K+卩)+入(兀2+0)+……+&(£+0)+入卩=°则AXI+^2X2++^nXn+（A）+
13、人++入）0=。如果&）+入++入H0,则+入=°・(P=_如+弩+……+严，矛盾•故兔+人+人)+4+……+入于是人西+&兀2+……+&£二。，推岀入=&=••…=人=0,从而兀1+0,兀2+0，'Xn+©0^原方程的n+1个线性无关解.⑵设0],輕,……,几+2是原方程的〃+2个解.则%2一01，%+2一02,，0n+2一％1是齐次方程的〃+1个解.于是存在不全为0的数几俎……，入+
14、使得A(
