数理方程sturm-liouville问题

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1、Sturm-Liouville问题在前面几节中，我们讨论过常微分方程X''()xXx()0的固有值问题以后，我们还将研究如下的方程2ddyv(x)(x)y0贝赛尔方程dxdxxd2dydd(1x)y0sinsin0勒让德方程dxdxdd它们都可以归纳为下面的一般形式ddy(()px)((x)qxy())0dxdx这种类型的方程称为Sturm-Liouville型方程(简称S-L型)()x称为权重函数一般()x0,()x0第三章Sturm-Liouville问题2ddy(()px)((x)

2、qxy())0dxdxS-L型方程附加上齐次的第一类、第二类、第三类边界条件，或者是自然边界条件，就构成S-L型固有值问题称为固有值满足S-L型方程及相应的边界条件的非零解就是固有函数第三章Sturm-Liouville问题3Sturm-Liouville固有值问题的共有性质ddy(()px)((x)qxy())0,x[a,b]加上合适的边界条件dxdx性质1如果()x是固有函数,c是不为零的常数,则c()x也是固有函数.性质2如果p(x)及其导函数连续，q(x)连续或者最多在边界有一阶极点，则存在无限多个固有值...123性质3所有的固有值为非负

3、实数，即n0性质4对应于不同的固有值m和n的固有函数ym(x)和yn(x)在区间[a,b]上带权(x)正交，b即yxyx()()()dxx0mna第三章Sturm-Liouville问题4Sturm-Liouville固有值问题的共有性质ddy(()px)((x)qxy())0,x[a,b]加上合适的边界条件dxdx性质5固有函数系yxn()在区间构成一个完备的正交函数系.即：函数f(x)如果具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数且满足固有函数族所满足的边界条件，则必可展开为绝对且一致收敛的级数fx()fynn()xn第三章Sturm-Liouvi

4、lle问题5Sturm-Liouville固有值问题的共有性质ddy(()px)((x)qxy())0,x[a,b]加上合适的边界条件dxdx称fx()fyxnn()右边的级数为广义傅里叶级数nfn(n1,2,)叫做f(x)的广义傅里叶系数b()()xfxyxdx()na即fxn()b.2()xy()xdxna第三章Sturm-Liouville问题6