数理方程—横向纵向振动问题、波动方程

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1、弦的横向振动问题细杆的纵向振动问题波动方程的定解条件数学物理方程物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各阶导数与自变量的关系。牛顿第二定律:F=maa—物体加速度;F—合外力;m—物体质量虎克定律:(1)f=–kx;f—弹力;k—弹性系数;x—弹簧伸长(2)p=Yux;Y—杨氏模量;ux—弹性体相对伸长单摆的数学模型:一阶偏导数:几何意义——曲线的切线斜率二元函数:u=u(x,t)几何意义——曲线曲率近似二阶偏导数:二阶偏导数物理意义——物体运动加速度弦的

2、横向振动问题一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开始沿x轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各点运动方向垂直于x轴).试建立细弦线上任意点位移函数u(x,t)所满足的规律.uxT1T2Oxx+dxρgdsds设细弦上各点线密度为ρ,细弦上质点之间相互作用力为张力T(x，t)水平合力为零T2cos2－T1cos1=0cos1≈cos2≈1T2≈T1≈T铅直合力:F=maT(sin2－sin1)=ρdsuttsin1≈tan1T(tan2－tan1)=ρdsuttds≈dx其中一维

3、波动方程:utt=a2uxx考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式utt=a2uxx+f(x,t)T[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=ρdsuttutt=a2uxx细杆的纵向振动问题细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移u(x，t)改变，质点位移相对伸长为ux，截面应力P=YuxY是杨氏模量。截面的张力T=SP。u(x,t)u(x+dx,t)xx+dxLO均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动(沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数u(x，t)T(x,t)=SYux(x

4、,t),T(x+dx,t)=SYux(x+dx,t)SY[ux(x+dx,t)–ux(x,t)]用牛顿第二定律SY[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=Sdxutt令a2=Y/。化简，得utt=a2uxx或由弦振动问题定解条件细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在x轴上的L处.受到垂直于x轴方向的扰动,作微小横振动。初始条件包括初始位移和初始速度u(x,t)

5、x=0=0,u(x,t)

6、x=L=0或:u(0,t)=0,u(L,t)=0初始条件:u(x,t)

7、t=0=(x),ut(x,t)

8、t=0=g(x)或:u(x,0)=(x),ut(x,0)

9、=g(x)边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态OLL/2hxu波动方程定解条件I波动方程定解条件II细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定在x轴上的L处.弦的中点受到垂直于x轴方向的冲量I的作用,作微小横振动。函数u(x,t)表示位移波动方程定解条件IIILu(L,t)O细杆在x=0点固定,在x=L处受外力F(t)作用F(t)–SYux(L,t)=0波动方程定解条件IV弦的一端固定在原点,另一端与x轴上L处的弹簧相接.受到扰动,作上下微小横振动。在右端点处(张力=弹性力):Tux=-Ku令=T/K,得[u+ux]x=L=0习题2.1

10、（P.22）1、2、3、4偏微分方程定解条件小结:第一种情况:初始条件(求解区域为无界区域)第二种情况:初边值条件(求解区域为有界区域)第一类边界条件:给定函数在边界上的函数值第二类边界条件:给定函数在边界上的导数值第三类边界条件:给定函数在边界上的函数值和导数值的线性组合思考题弦振动和简谐振动的数学模型有何区别？弦的横振动和杆的纵振动的数学模型中位移函数u(x,t)有何不同？举一个实例简述第二类边界条件的物理背景