数理方程-波动方程的导出

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1、波动方程的导出几个常用的物理定律波动方程的定解条件弦的横向振动问题细杆的纵向振动问题牛顿第二定律:F=maa—物体加速度;F—合外力;m—物体质量付里叶热传导定律:Q—热量;T—温度;κ—热导率虎克定律:(1)f=–kx;f—弹力;k—弹性系数;x—弹簧伸长(2)p=Yux;Y—杨氏模量;ux—相对伸长牛顿冷却定律:q=k(u

2、S–u0)q—热流密度;u0—外界温度;u

3、S—物体温度导数的意义:速度加速度弦的横向振动问题一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开

4、始沿x轴(平衡位置)上下作微小横振动(细弦线上各点运动方向垂直于x轴)。试建立细弦线上任意点位移函数u(x,t)所满足的规律。uxT1T2Oxx+dxρgdsds设细弦上各点线密度为ρ,细弦上质点之间相互作用力为张力T(x，t)水平合力为零T2cos2－T1cos1=0cos1≈cos2≈1T2≈T1≈T（为什么？）铅直合力:F=maT(sin2－sin1)=ρdsuttsin1≈tan1（为什么?）T(tan2－tan1)=ρdsuttds≈dx其中一维波动方程:utt=a2uxx考虑有

5、恒外力密度F(x，t)作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式utt=a2uxx+f(x,t)T[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=ρdsuttutt=a2uxx其中f(x,y)=F(x,y)/ρ.细杆的纵向振动问题细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移u(x，t)改变，质点位移相对伸长记为ux。u(x,t)u(x+dx,t)xx+dxLO均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动(沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数u(x，t)。细杆的纵向振动问题u(x,t)

6、u(x+dx,t)xx+dxLO相对伸长：ux导数定义：当dx很小时，有用牛顿第二定律令a2=Y/,dx→0。化简，得SY[ux(x+dx，t)－ux(x，t)]=Sdxuttutt=a2uxxT(x,t)=SYux(x,t),T(x+dx,t)=SYux(x+dx,t)SY[ux(x+dx,t)–ux(x,t)]截面应力P=Yux,Y是杨氏模量。截面的张力T=SP弦振动问题定解条件细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在x轴上的L处.受到垂直于x轴方向的扰动,作微小横振动。初始条件包括初始位移和初始速度。边界条

7、件表示端点状态初始条件表示历史状态u(x,t)

8、x=0=0,u(x,t)

9、x=L=0或:u(0,t)=0,u(L,t)=0初始条件:边界条件：弦振动问题定解条件u(x,t)

10、t=0=(x),ut(x,t)

11、t=0=g(x)或:u(x,0)=(x),ut(x,0)=g(x)OLL/2hxu波动方程定解条件I波动方程定解条件II细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定在x轴上的L处.弦的中点受到垂直于x轴方向的冲量I的作用,作微小横振动。函数u(x,t)表示位移波动方程定解条件IIILu(L,t)O细杆在x

12、=0点固定,在x=L处受外力F(t)作用F(t)–SYux(L,t)=0波动方程定解条件IV弦的一端固定在原点,另一端与x轴上L处的弹簧相接.受到扰动,作上下微小横振动。在右端点处(张力=弹性力):令=T/K,得[u+ux]x=L=0Tux=-Kuu(x,t)

13、x=0=0,u(x,t)

14、x=L=0初始条件:边界条件：弦振动问题定解条件u(x,t)

15、t=0=(x),ut(x,t)

16、t=0=g(x)[u+ux]x=L=0第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件习题2.1（P.22）1、2