数理方程热传导方程的导出

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1、热传导方程的导出热传导问题三类边界条件三维热传导方程推导几个记号记与Laplace算子相关的另一算子(梯度算子(grad))或(Laplace算子)则有显然梯度算子其中,k是导热系数,u(x,y,z)是导热体中的温度,付里叶热传导定律:在dt时段内,通过面积元dS流入体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率成正比,也与dS和dt成正比通过曲面进入导热体的总热量:三维热传导方程推导通过曲面进入导热体的总热量:温度升高所需热量:Q1=Q2三维热传导方程:ut=a2[uxx+uyy+uzz]Q1=Q2记a2=k/(c)初始条件:u(x,y,z,0)=(x,y,z)ut=a2[

2、uxx+uyy+uzz]=ΔuII.第二类边界条件:III.第三类边界条件:I.第一类边界条件:(已知边界温度)(边界上有热流进入)(边界上有热交换)热传导问题三类边界条件一维热传导方程:ut=a2uxx热传导方程的初边值问题(第一类边界条件)例如L长的细杆边界上有热流进、出u(x,t)LO1.在x=L处有热流q流出ux

3、x=L=–q/k2.在x=L处有热流q流入ux

4、x=L=q/k3.在x=0处有热流q流出ux

5、x=L=q/k4.在x=0处有热流q流入ux

6、x=L=–q/k这里为沿热流方向的方向导数边界上有热交换拉普拉斯方程与拉普拉斯算子二维热传导方程:ut=a2[uxx+uyy]

7、三维热传导方程:ut=a2[uxx+uyy+uzz]热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,则经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。ut=0uxx+uyy+uzz=0(Laplace方程)或正方形区域上第一边值问题准确解:O1x1y习题2.6（P.26）1高斯公式格林公式与高斯公式Oxyzsv