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《热传导方程的导出及其定解问题的导出》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、热传导方程的导出及其定解问题的导出1.热传导方程的导出考察空间某物体G的热传导问题。以函数u(x,y,z,t)表示物体G在位置(x,y,z)及时刻t的温度。依据传热学中的Fourier实验定律，物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数?u成正比，即?ndQ??k(x,y,z)?udSdt(1-1)?n其中k(x,y,z)称为物体在点(x,y,z)处的热传导系数，它应取正值。(1-1)式中负号的出现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ应
2、和?u异号。?n在物体G内任取一闭曲面?，它所包围的区域记为?，由(1-1)式，从时刻t1到t2流进此闭曲面的全部热量为?u?t?Q??t12????k(x,y,z)dS?dt?n???u表示u沿?上单位外法线方向n的方向导数。?n(1-2)这里流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t1,t2)中物体温度从u(x,y,z,t1)变化到u(x,y,z,t2)，它所应该吸收的热量是???c(x,y,z)?(x,y,z)[u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)]dxdydz?其中c为比热，?为密度。
3、因此就成立?t2????k(x,y,z)1t???u?dS?dt????c(x,y,z)?(x,y,z)[u(x,y,z,t2)?u(x,y,z,t1)]dxdydz?n??(1-3)假设函数u关于变量x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为????u????u????u???t2?u?k?k?kdxdydzdt?c?dt?dxdydz???????????t1???????x??y??y??z??z?????x????t?t2t1交换积分次序，就得到??u??
4、?u????u????u????k?????c????k???k??dxdydzdt?0?t?x??x??y??y??z??z????t2t1(1-4)由于t1,t2,?都是任意的，我们得到c??u???u????u????u???k???k???k??t?x??x??y??y??z??z?(1-5)(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。如果物体是均匀的，此时k,c,?均为常数，记k?a2，即得c?2?u?2u?2u?2??u?a?2?2?2??t?y?z???x(1-6)如果考查的物体内部有热源（例
5、如物体中通有电流或有化学反应等情况），则在热传导方程的推导中还需要考虑热源的影响。若设在单位实践内单位体积中所产生的热量为F(x,y,z,t)，则在考虑热平衡时，(1-3)式左边应再加上一项?t1???F(x,y,z,t)dxdydzdt?t2于是，相应于(1-6)的热传导方程应改为其中2?u?2u?2u?2??u?a?2?2?2??f(x,y,z,t)?t?y?z???x(1-7)f(x,y,z,t)?F(x,y,z,t)。(1-8)c?(1-6)称为齐次热传导方程，而(1-7)称为非齐次热传导方程。2.定解
6、问题的提法从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换情况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度。因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件和边界条件下求问题的解。2.1初始条件的提法初始条件的提法显然为u(x,y,z,0)??(x,y,z)(1-9)其中?(x,y,z)为已知函数，表示物体在t?0时的温度分布。2.2边界条件的提法2.2.1第一边界条件（狄利克雷（Dirichlet）条件）最简单的情况为物体的表面温度是已知的，这条件的数学形式为u(x,y,z,
7、t)
8、(x,y,z)???g(x,y,z,t)(1-10)其中?表示物体的边界曲面，g(x,y,z,t)是定义在(x,y,z)??,0?t?T上的已知函数。这种边界条件称为热传导方程的第一类边界条件（又称狄利克雷（Dirichlet）条件）。2.2.2第二边界条件（诺依曼（Neumann）条件）在物体的表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上在单位时间内所流过的热量Q是已知的。根据Fourier定律dQ?u??kdSdt?n就可明白，这种边界条件实际上表示温度u在表面
9、上的法向导数是已知的。这条件的数学形式为?u?g(x,y,z,t)?n(x,y,z)??(1-11)这里?u表示u沿边界?上的单位外法线方向n的方向导数，而g(x,y,z,t)是定义在?n(x,y,z)??,0?t?T上的已知函数。这种边界称为热传导方程的第二类边界条件。2.2.3第三类边界条件今考察物体放在介质（例如空气）中的情形：我们能测量到得只是与物体接触处的介质温度u1，它与物
