数理方程__波动方程的分析

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1、数学与物理方程——波动方程的分析-5-波动方程的分析摘要:波动方程是一个二阶线性偏微分方程。解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。关键词:波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数1引言波动方程也可叫做波方程。它是一种重要的偏微分方程，通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等。它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在

2、量子力学和广义相对论中见到。历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究过，其中包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。2波动方程的导出(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。(2)波动方程等号两边分别是未知量y对变量t和对变量x的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。如果和都是波动方程的解，即

3、以下两式成立（1）（2）将以上两式相加，得（3）-5-这表示，也是波动方程的解。表示两列波的叠加。所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。(4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。(5)平面简谐波波函数是波动方程的解。既然平面简谐波波函数是波动方程的解，由于波动方程是线性方程，所以不同振幅、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合也一定是波动方程的解。那么不同振幅

4、、不同频率的平面简谐波波函数的线性组合是什么波呢？根据傅利叶理论，这种线性组合是任意的周期性波(有限项组合)或任意的非周期性波(无限项组合)。3波动方程的物理意义波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义很宽泛。不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限。电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。波动是指很多质点的集体振动，它们的振动不相互独立，而是相互作用的，一维波动方程（4）的物理意义为一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧

5、，而且不受不随时间而变的张力作用及本身的重力，不受外力影响的情况下的振动。弦受到外力作用时方程变为：（5）形式。其中（6）表示t时刻单位质量的弦在x点处所受的外力密度。这个方程叫做强迫振动方程，是一维非齐次波动方程。两个方程中的均等于。-5-是弦的线密度，T是弦所受的张力。此外电路中的传输线方程也是一维波动方程。可以写成（7）或（8）形式。其中是电源电压，是电流，R是回路单位的串联电阻，L是回路单位的串联电感，C是单位长度的分路电容，G是单位长度的分路电导。当G=R=0时方程可以简化为（9）或（10）的形式。4波动方程在不同坐标系中的表

6、达式球坐标系和柱坐标系是我们经常讨论的空间坐标系，波动方程在空间坐标系中的一般表达式为：（11）此方程满足球坐标系和柱坐标系中波动方程的表达式。球坐标系中的波动方程的一般表达式：（12）柱坐标系中的波动方程的一般表达式：-5-（13）5波动方程的三种边界条件第一类边界条件：固定端，即弦在振动过程中这个断点始终保持不动，对应于这种状态的边界条件为或第二类边界条件：自由端，即弦在这个端点不受位移方向的外力，从而在这个端点弦在位移方向的张力应改为零。此时所对应的边界条件为：或第三类边界条件：弹性支承端，即弦在这个端点被某个弹性体所支承。设弹性

7、支承原来的位置为，则就表示弹性支承的应变，有胡克定律可知，这时弦在处沿位移方向的张力应该等于，即或其中为弹性体的倔强系数，。6波动方程在给定的边界条件下的解法解波动方程的主要方法是分离变量法，分离变量法的主要步骤大体分为：一，首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解题。-5-二，确定特征值与特征函数，由于特征函数是要经过叠加的，所以用来确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍要慢满足。当边界条件是其次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足另边界条件的非零解。三，定出特征值，特征函数之后，再解其他的常微分方程，把

8、得到的解与特征函数乘起来成为，这时中还包含着任意常数。四，最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的叠加起来成为级数形式，这是级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定。在最后的一部工作中，需要把已知函数展