数理方程定解问题

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1、数理方程定解问题：1、数理方程的分类反应热传导的方程类型为:ut=DAu+f其中△二d2dx2du未知数u表示温度特征，D表示热传导系数，f是与源有关的已知函数，当f二0的吋候，相应的方程被称为齐次方程。2、用数理方程研究物理问题的步骤用数理方程研究物理问题一般需经历以下三个步骤（1）导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件两部分（2）求解已导出或写出的定解问题（3）对求得的答案讨论其适定性（即解是否存在、唯一且稳定）并作适当的物理解释3、求解数理方程的方法求解数理方程的方法人致可归纳为如下几种(1)彳亍波法（d'Alembert解法

2、）(2)分离变量法(3)积分变换法(4)Green函数法(5)保角变换法(6)复变函数法(7)变分法定解条件定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数,使解具冇唯一性的充分必要条件。它分为初始条件和边界条件两种。若所研究的系统是由儿种不同介质组成的，则在两种介质的交而上定解条件还应当有衔接条件。1＞初始条件（1）定义初始条件是物理过程初始状况的数学表达式（2）初始条件的个数关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。热传导方程仅需给出一个初始条件u（x,y,z；t）b=o=0（x，y，z）2、边界条件（1）定义物理

3、过程边界状况的数学表达式称为边界条件。（2）边界条件的种类和个数边界条件分为三类。设f（M,t）为任一已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为：1第一类边界条件u

4、边=f（M,t）2第二类边界条件驚b=f（M,t）3第三类边界条件山+磴］边=即月其中u

5、边表示未知函数U在边界面上的值，孟I边表示未知函数沿边界外法向的导数在边界上的值，h为任意常数。若f=0,泽以上三类边界条件分别称为第一、第二、第三类齐次边界条件，否则称作相应的非齐次边界条件。除以上三类边界条件以外，由于物理上的合理性的需要，有时还需对方程屮的未知函数附加以单值、有

6、限等限制，如u（q）+2n）=u（cp）u

7、边-有限等。这类附加条件称为B然边界条件。不管是何类边界条件，类似丁•初始条件的情况，变屋x的二阶偏微分方程要求两个边界条件（一端点一个），而x的四阶偏微分方程要求四个边界条件（一端点两个）。3、衔接条件由不同介质组成的系统，在两种不同介质的交界处需要给定两个衔接条件。更一•般来说，若在所研究的区域内出现使泛定方程失去意义的跃变点（线或面），则在定解条件中必须含有跃变点处的衔接条件。4、三类定解问题泛定方程与不同类型的定解条件分别构成了如下三种类型的定解问题（1）初值问题是由泛定方程和初始条件构

8、成的定解问题，又叫Cauchy问题。（2）边值问题是由泛定方程和边界问题构成的定解问题。（3）混合问题是由泛定方程、初始条件和边界问题三者构成的定解问题泛定方程与叠加原理泛定方程反应广泛性的运动规律，不涉及具体的系统和具体的问题。数理方法屮的泛定方程是各种各样的，线性常微分方程、非线性常微分方程。线性与非线性方程的区别在于线性方程服从叠加原理。我们引入算符的概念。算符就是运算符号。比如dddd2Qd2dxdxdy1dx2dx2是微分算符，而Jdx,Jdxdy,Jd0是积分算符。如果算符L满足L(aui+bu2)=aL(Ui)+bL(u2)

9、其中a、b为常数,5、叠加原理：如果UjU2是函数，则称L为线性算符。（x,y）（i=l,2,3,）是方程（1）的解LUj(x,y)=0(1)其中匸A令+2B急+C話+D估+碣+F,而且级数u=为證1Cg（x,y）（2）收敛，并且能够逐项微分两次，则式（2）也是方程（1）的解。亞加原理为求解线性泛定方程的定解问题提供了有力的工具。定解问题作为一•个数学物理模型，是否能准确无误地描述实际过程，需要对结果进一步检验。从数学角度来看，即考查解的适定性，它包括三个方而：（1）存在性即考杳定解问题的解是否存在（2）唯一性实际问题的解往往是唯一的，但

10、数学解可能不是唯一的，要舍去没有意义的数学解（3）稳定性考查定解条件或驱动项的微小变化是否导致解的性质的改变如果一个解经不起微扰，或者说在小小的微扰下，解的性质就发生了改变，尽管这个解是存在且唯一的,但没有实际意义。如果一个定解问题的解是存在的、唯一的、稳定的，则称这个定解问题是适定的。适定性的讨论，对于一个定解问题是十分必要的。