数学物理方程及其定解问题.ppt

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1、第七章数学物理方程及其定解问题数学物理方程的导出定解条件数学物理方程的分类达朗贝尔公式定解问题13.数学物理方程的分类若,如果方程可以表为:1.基本概念a.二阶偏微分方程:,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程b.二阶线性偏微分方程:若其中的系数只是自变量的函数，即　　　　　只是的函数，则称为是线性的方程2c.齐次二阶线性偏微分方程:若　　　　则称方程是齐次的2.叠加原理当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作几个部分的解的线性叠加.37.4达朗贝尔公式定解问题无限长的自由振动端点的反射半无限长弦的自

2、由振动半无限长杆的自由振动3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的数学物理方程)4.定解问题的适定性满足达朗贝尔公式延拓,利用达朗贝尔公式4一.无界弦的自由振动1.无界弦的自由振动(1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦的两端提出边界条件。定解问题初值问题(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的方程是齐次的5定解问题：2.求无界弦的自由振动方程⑴求偏微分方程的通解分析范定方程的形式,为表示的简化对称做变

3、量代换:得方程的通解通解的物理意义:正行波,反行波6利用定解条件来确定函数⑵由初始条件得解得——达朗贝尔公式7例一.求解初值问题8讨论：达朗贝尔解的物理意义I.只有初始位移时:代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波II.只有初始速度时：令,则结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波的叠加。9练习:初位移10二.端点的反射1.半无界弦的自由振动半无界的弦只有一个端点,设端点在坐标原点定解问题:分析:端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，考虑端点固定，作奇延拓11由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的

4、部分即所讨论问题的解。12在初速为0的情况下，如右图所示右半边实线:左右两方向移动的波左半边细线:其奇延拓端点的影响表现为反射波反射波的相位跟入射波相反,形成半波损失132.半无限长杆的自由振动杆的端点自由定解问题:分析:端点自由。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义，考虑端点自由，作偶延拓14由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。15三.一般情况下的数学物理方程一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件求特解。定解问题的整体性物理问题数学问题定解问题是一个整体四.定解问题的适定性如定解问题满足(

5、1)有解(2)解是唯一的(3)解是稳定的则称此定解问题是适定的。因为定解问题来自实际。16作业:P179,1.,5.17