第11章：数学物理方程的定解问题

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1、第11章数学物理方程的定解问题11.1泛定方程的导出11.2定解条件11.3数学物理方程的分类11.4定解问题的适定性111.1泛定方程的导出自然数学物理改造物理现象方程预言自然描述波动方程热、电温度量子扩散工艺扩散方程声、光压力能级半导体位势方程等等电场强度半导激光量子力学磁场强度体等原子弹等等等2ß三类典型的泛定方程波动方程—双曲方程描述现象：声波、电磁波等波动过程扩散方程—抛物方程描述现象：热扩散、物质扩散等扩散过程位势方程—椭圆方程电势、稳定温度场分布等与时间无关的稳定场——共性边界条件—研究的物理系统与外部的相互作用

2、；初始条件—研究的物理系统过去的历史——个性3ß弦的横向振动方程假定:(1)张力T>>重力mg；（2）静止时弦位于x轴，横向振动时各点的位移为u(x,t);(3)弦的线密度为ρ；（4）振动是无限小的。考察x—x+∆x小段B：力的平衡方程为x方向Tcosβ−Tcosα=021y方向Tsinβ−Tsinα=ρ∆Su21tt4uT2BβαT1Oxxx+∆x5三个近似(1)cosβ≈cosα≈1(2)sinβ≈β=u;sinα≈α=uxx+∆xxx222(3)∆S=(∆x)+(∆u)=∆x1+(u)≈∆xxx方向T≈T⇒T=T=T21

3、21y方向T(u

4、−u

5、)=ρ∆xuxx+∆xxxtt2u

6、−u

7、∂uxx+∆xxxlim=2∆x→0∆x∂x6故最后得到x处∆x长的弦的运动方程为22∂u(x,t)T∂u(x,t)−=022∂tρ∂x如果弦受到线密度为f(x,t)的横向力作用，则弦的受迫振动方程为22∂u(x,t)2∂u(x,t)f(x,t)−a=22∂t∂xρ其中a=T/ρ——与弦中的张力有关——具有速度的量纲7ß杆的纵向振动假定：（1）静止时杆位于x轴，纵向振动时各点的位移为u(x,t);(2)杆的密度为ρ，Young模量为Y；(3)振动是无限小的。B段

8、的运动方程为ρ(Sdx)u=YSu

9、−YSu

10、ttxx+dxxxxx+dxACBuu+du8式中：S是杆的面积，最后的方程与次无关。当dx→0时，我们有22∂u(x,t)Y∂u(x,t)−=022∂tρ∂x可见：两个方程具有相同的形式，可以写成统一的形式以后将看到，22∂u(x,t)−a2∂u(x,t)=0a是波在弦22∂t∂x上（横波）式中或杆中（纵TY波）传播的a=或者a=速度。ρρ9ß声波方程描述参量：采取流体的Euler描述方式（1）p=P(r,t)-P压强差—声压(其中P是大气0：0压,P(r,t)是r=(x,y,z

11、)点的瞬态压强分布;（2）ρ(r,t):空气密度分布;（3）v(r,t)：空气速度场分布。考虑位于(x,y,z)的流体元dV=dxdydz(1)质量守恒方程:dV内质量的变化应等于六个面流入和流出的净增加量10zdxdz(ρv)

12、yy(ρv)

13、yy+dy•dyOyx11∂ρdxdydz=dxdz[−(ρv)

14、+(ρv)

15、]yy+dyyy∂t+dydx[]−()ρv

16、+()ρv

17、zz+dzzz+dzdy[]−()ρv

18、+()ρv

19、xx+dxxx两边同除以dxdydz∂ρ∂∂∂+()ρv+(ρv)+()ρv=0xyz∂t∂x∂y∂

20、z写作矢量形式∂ρ+∇⋅(ρv)=0∂t12(2)运动方程：三个分量方程分别为x方向的运动方程dvx()ρdxdydz=−+dydz()P

21、xd+xP

22、xdtxx+∆xx13y方向的运动方程dvy()(ρdxdydz)=dydz−P

23、ydy+P

24、y+dtz方向的运动方程dvz()(ρdxdydz)=dydx−P

25、+P

26、z+dzzdt因此写作矢量形式，运动方程为dv——五个未知数：ρ、ρ=−∇PdtP、vx、vy、vz,现有四个方程。14（3）介质本构方程：描述压强P=p+P、密度ρ0（体积）和熵s的关系，由热力学决定P=P(ρ

27、,s)一般假定，声波振动是等熵过程，则P=P(ρ)其中：ρ=ρ+ρ′。这三个方程是声波过程的基0本方程。在无限小振动近似下dvv∂∂；vρρ=+()′ρ+vv⋅∇≈ρ00dt∂∂tt∂Pp≈∇ρρ′′;⋅(vv)=∇⋅[](ρ+ρ)≈ρ∇⋅v00∂ρs15总结∂∂ρ′v∂P+∇ρ⋅v=0;ρρ=−∇PP;=′00∂∂tt∂ρs质量守恒运动方程介质本构方程由质量守恒和运动方程2∂ρ′2−∇P=02∂t由介质本构方程得2∂ρ′22−c∇ρ′=02∂t16其中∂PγP0c==∂ρρ

28、0s即为空气中的声速。同样有2∂p22−c∇p=02∂tß电磁波方程描述参量：电场强度矢量E;磁感应强度矢量B;磁场强度矢量H;电位移矢量D。满足Maxwell方程组（无源情况）∂B∂D∇⋅B=0;∇⋅D=0;∇×E+=0;∇×H−=0∂t∂t17介质本构方程B=µH;D=ε