第1讲_数学物理方程的导出和定解条件(2015).ppt

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1、数理方程什么是数学物理方程？物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（广义上也包括积分方程和微分积分方程），它们反映了支配各种自然现象的基本规律。连续介质力学（流体力学、固体力学等）、电磁学、传热学、量子力学、化学反应动力学等方面的基本方程都是数学物理方程的范畴。绪论本课程的研究对象数学物理方程与特殊函数☆课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数☆数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。§1.1弦振动方程与定解条件有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而

2、后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的横振动方程。u(x,t)几点假设：弦是柔软的：弦内相邻点之间只存在张力，张力沿着弦的切线方向，一个小段的振动必定带动它的邻段，而邻段又带动它自己的邻段，这样，一个小段的振动必然传播到整个弦。这种振动传播的现象叫作波。忽略弦所受重力的影响弦没有纵向振动。弦的横向振幅很小。均匀弦的横振动方程推导1、确定物理量：位移量—2、研究邻近点的相互作用：受力分析3、短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响：物理定律：F=ma4、数学语言描述，并简化整理→数学物理方程建立如图的坐标系，取很多小段的一段进行分析：进行受力分析：（1）（2）所

3、取小段的纵向和横向运动方程分别为：——弦的横向加速度方程推导：因为是小量，利用泰勒展开，可有以下近似：（1）（2）两式可化为：（3）（4）弦中各点的张力T相等；张力既跟空间量无关，又与时间无关，记为常数T。进而：（5）因为dx很小，所以：（5）（6）（7）（8）—弦自由振动方程——a为弦横振动的传播速度。受迫振动方程：当弦在振动过程中还受到外加的横向的作用力时，设每单位长度弦所受的横向力为F(x,t),则（2）式应修改为：（2）（9）受迫振动方程续：（10）——受迫振动方程（8）其中：为力密度，表示单位质量所受的外力。2.均匀杆的纵振动方程利用牛顿运动定律建立方程：位移变量应

4、变应力胡克定律：应力和应变成正比Y：杨氏模量——纵振动在杆中的传播速度—杆的纵振动方程每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力F—杆的受迫振动方程定解条件引入定解条件的必要性：从物理多角度看：物理方程仅能表示一般性，要个性化物体的运动需要附加条件。从数学上看：微分方程的解的任意性也需要附加条件来确定，这些附加的条件就是初始条件和边界条件，统称为定解条件。包含初始条件和边界条件初始条件定义：我们在求解含有时间变量t的数理方程时，往往必须追溯到某个所谓“初始时刻”的状况，我们称物理过程初始状态的数学表达式为初始条件。初始条件应该完全描写初始时刻（t=0时）介质内部及边界上任意一点的

5、状况。弦的振动方程：给出两个初始条件，即初始时刻的位移和速度初始条件的个数：等于方程中关于时间偏导数的阶数初始条件续：xuhx＝0x＝lx＝l/2F边界条件定义：我们在求解方程时要考虑边界状况，我们称物理过程边界状况的数学表达式为边界条件。如：弦的横振动过程，弦的“两端固定”，边界条件就是：两端自由：一端自由，一端固定？两端受外力的情况？三类边界条件第一类边界条件（Dirichlet条件（狄利克莱）,给出边界上各点的函数值第二类边界条件（Neuman条件（纽曼））,给出边界上各点函数法向微商值第三类边界条件（混合边界条件）：给出边界上各点函数值与法向微商值之间的线性关系边界条

6、件续：当f＝0时的边界条件称为齐次的。前面的三类边界条件分别为第一、第二、第三类齐次边界条件。边界条件的个数：与初始条件的个数类似，等于方程中关于空间变量偏导数的阶数。边界条件的关键点：只需给出恰当说明边界上的物理状况即可，而非整个系统物理定律：能量守恒定律和热传导的Fourier定律热传导的Fourier定律：若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就有一定的热量传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成正比。q-热流密度，单位时间单位面积流过的热量；k-热导率三维空间§1.2热传导方程与定解条件热传导方程续：图1.5热传导方程选取的体元时

7、间内沿x方向流入体元的热量：建模：选取以长方体为体元则：（11）时间内沿y方向流入体元的热量：时间内沿z方向流入体元的热量：（12）（13）能量守恒定律：净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。（14）这里是介质的密度，c是比热容记：Laplace算子（16）（15）扩散率，或温度传导率介质内存在热源时如果在介质内有热量产生（例如，有化学反应发生，或者通有电流，…），单位时间内单位体积介质产生的热量为F(x,y,z,t)（14）F(x,y,z,t)（17）（18）初始条件弦的振动方程：给