方程的导出定解条件ppt课件.ppt

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1、第一章波动方程WaveEquations弦的振动某一点出发的特殊波最典型的双曲型方程描述波在同性均质弹性介质内传播的微分方程。例如声波，光波和水波。出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。§1方程的导出、定解条件弦的横振动方程的建立定解条件的提出定解问题适定性概念§1方程的导出、定解条件弦的横振动方程的建立定解条件的提出膜振动方程的导出定解条件的提法真空中电磁波的传播设有一沿水平直线绷紧的弦，以某种方法激发后在垂直平面内作微小横振动。求弦上各点的运

2、动规律。1.弦的横振动方程的建立一、基本假设：1、细弦的截面直径与弦的长度相比可忽略，因此可视为一根曲线；2、均匀线密度r是常数；3、柔软变形时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力与弦的切线方向一致（没有法向分量）；4、有弹性弦的伸长形变与张力服从胡克定律。5图1二、基本定律：6三、数学推导由Hooke定律7图2由基本假设3，张力的方向总是在点的切线方向8水平方向受力分析即图39垂直方向受力分析10动量分析(1.9)11动量分析(1.10)12无外力弦振动方程(1.11)方程(1.11)是弦的自由振动方程,

3、通称为弦振动方程或一维波动方程。13外力分析于是在方程（1.10）的左侧应添加这一项，得到:（1.12）14外力分析（1.14）（1.13）f(x,t)表示时刻t在点x处,单位质量的弦所受外力。方程(1.14)是弦的强迫振动方程,通称为非齐次振动方程或非齐次一维波动方程。15类似地，可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）。162.定解条件的提出1)初始条件:已知弦在初始时刻t=0时的位置和速度2)边界条件:已知弦在两个端点的性态边界条件可有几种不同的形式:①弦的两端

4、固定：（见图1)式(4)称为第一类边界条件，或Dirichlet边界条件。17②弦的端点是自由的，可在垂直于x轴的直线上自由滑动，此时合力在u方向的分量为0，即更一般的第二类边界条件:称为第二类边界条件或Neumann边界条件。（Tsinθ≈Tux）m1和m2是已知函数18③弦的端点固定在弹性支承上。此时，弹性力与弦对支承的拉力(弦在端点的张力在垂直方向的分量)相平衡(见图4）,描述为更一般的描述:第三类边界条件图419求方程(1)或(2)满足初始条件(3)以及某类边界条件的解，这种定解问题称为混合问

5、题或第一(二、三)类混合初边值问题。另一种极端情形：设弦很长，而所要考察的一部分弦离边界又很远。此时可在无界区域上考察方程(1)或(2)满足初始条件(3)的解。称为初值问题或柯西(Cauchy)问题.203.膜振动方程的导出以膜振动方程为例，导出二维波动方程。21膜的自由振动方程自由项膜的强迫振动方程二维波动方程224.定解条件的提法①初始条件：②边界条件：第一类边界条件：其中Γ为薄膜的边界在xoy平面上的投影。23第二类边界条件：其中n为Γ的外法线方向。第三类边界条件：其中σ为已知正数。24Cauc

6、hy问题混合初边值问题255.真空中电磁波的传播Maxwell方程组D：电位移矢量E：电场强度B：磁感应强度H：磁场强度r：电荷密度j：电流密度全电流定律法拉第电磁感应定律磁通连续性原理静电场高斯定律2627定解问题适定性存在性,唯一性,稳定性统称适定性.稳定性指解对定解条件或自由项的连续依赖性问题。即：当定解条件或f(指f(x,t),f(x,y,t),f(x,y,z,t))有微小变化时，解是否也只有微小变化。28作业P6－P7：1,3,4,629