建立方程定解条件ppt课件.ppt

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1、§1建立方程、定解条件方程的导出定解条件和定解问题变分原理分离变量法2021/8/61.方程的导出本章研究调和方程（又称拉普拉斯方程）以及泊松方程的基本定解问题及解的性质。(1.1)(1.2)2(1)引力位势经计算可得：3直接计算可得：还可进一步验证：4拉普拉斯（Laplace）(1749－1827)法国分析学家、概率论学家和物理学家，法国科学院院士。1784～1785年，他求得天体对其外任一质点的引力分量可以用一个势函数来表示，这个势函数满足一个偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。5泊松（Possion）(1781-

2、1840)法国数学家、几何学家和物理学家。1798年入巴黎综合工科学校深造。1806年任该校教授，1812年当选为巴黎科学院院士。对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献6(2)静电场的电位势应用高斯公式，上式可改写为：E是电场强度矢量,n是单位外法向量,是电荷密度：7由区域G的任意性得：静电场方程由于静电场是有势场，因而存在电势u，从而静电场的电势u应当满足泊松方程如果静电场的某一区域里没有电荷，即=0，则静电场方程在该区域上简化为拉普拉斯方程8(3)稳定温度分布92.

3、定解条件和定解问题(1)第一边值问题（Dirichlet问题）(2)第二边值问题（Neumann问题）10(3)Dirichlet外问题(4)Neumann外问题注：当考虑外问题时，为保证解的唯一性，还需对解在无穷远的状况加以限制。在三维情形，通常要求：11其它边界条件(5)第三类边界条件(6)等值面边界条件（总流量边界条件）123.变分原理膜的平衡问题：1314外力作功－＝总势能应变能弹性体受外力作用发生变形,变形中克服内力（即弹性体各质点间的约束力）所作的功,作为能量储存在弹性体内部,称为弹性势能或应变能.15即

4、：16(1)问题2的解答：171819(3)20(5)(4)即21224.分离变量法求解Laplace方程(1)矩形区域上Laplace方程的第一边值问题代入方程(1)得:分离变量:23由此得X，Y满足的常微分方程：由边界条件(2)知：得固有值问题：解之得：24通解为其中Ak，Bk为任意常数。因此是满足方程(1)和边界条件(2)的解。25叠加所有的Uk，即代入边界条件(3)，得：由特征函数系的正交性,即26得系数公式解得：27(2)圆形区域上Laplace方程的第一边值问题28(3)(4)即：29由此得R,满足的常

5、微分方程：由周期性条件(4)得:固有值问题的讨论：得固有值问题：(5)30(6)31因此是满足方程(1)和自然边界条件(3)以及周期性条件(4)的解。由叠加原理，满足(1)(3)(4)的解可表为：32代入边界条件(2)得：故33代入级数得：证明3435设对于(某一集合内的)任意一个函数y(x),有另一个数J[y]与之对应,则称J[y]为y(x)的泛函.泛函的概念36可以仿照函数极值必要条件的导出办法,导出泛函取极值的必要条件.泛函的极值37对泛函求极值的问题称为变分问题;使泛函取极值的函数称为变分问题的解或极值函数。

6、变分法基本引理如果函数满足则在中。38对于函数容易验证于是有这与假设u满足条件(a)矛盾.证毕.39