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1、方程的寻kw疋解务J午弦的横振动方程的建立J宀皿砧土曰rh片^也率匕卑rr!偏微分方程是指含有多元未知函数〃=班兀），X=（旺,兀2,…,兀”）及其若干阶偏导数的关系式_zdudududmu、介F（x,w,-——，…，一，…，）=03xtdx23xw飪Jd瑁2・・・d瓚/其中未知函数最高阶导数的阶数m-mx+m2+・・・+叫称为方程的阶.若偏微分方程中与未知函数有关的部分是"及U的偏导数的线性组合，则称为线性偏微分方程.上页I下页I返回1.弦的横振动方程的建立设有一沿水平直线绷紧的弦，以某种方法激发后在垂直平面内作微
2、小横振动。求弦上各点的运动规律。一、基本假设:1、细弦的截面直径与弦的长度相比可忽略，因此可视为一根曲线；3、2、均匀线密度p是常数；柔软变形时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力与弦的切线方向一致（没有法向分量）；4、有弹性弦的伸长形变与张力服从胡克定律。3二、基本定律：”、dv牛顿第二定律：F⑴=ma=mdt在任一时段内：F(t)dt=mv(t2)-mv(t})作用在物体上的冲量=该物体的动量的增量三、数学推导兀轴——弦的平衡位置；U轴——弦的振动方向。——位于X处的弦在t时刻离开平衡位置的位移；T(x,t)位于兀处的
3、弦在t时刻的张力大小；微小横振动：単VV1,因此単的高阶项可忽略不计。dxax△s=、1+(鹉)?Ax=Ax由Hooke定律T(x9t)=T(x)tan0=uxsin0-uxcos0=(=/l+tan2011+Ux上页下页I返回I下面推导弦的位移u(x,t)所满足的微分方程。为此，任意截取一段弦［兀1，兀2】，并考察受力情况。(见图3)水平方向受力分析在兀1处的左张力在X方向的投影为:_TOi)cos&i-在兀2处的右张力在兀方向的投影为:T(x2)cos02=T(x2)由于各点没有左右偏移，故合力八兀2)-口")
4、=0垂直方向受力分析向的投影为・巩叫(兀2昇)一冷(兀1昇)]=町juxx(x,t)dx在兀1处的左张力在《方向的投影为:一T(兀])sin$=-T力"1")3x在兀2处的右张力在〃方向的投影为:T(x2)sin^訂加(兀2“)_dx设"对兀二次连续可微，则弦£?2上张力的合力在M方外力分析弦所受外力为：「F(x9t)dxJxl设〃方向作用在弦上的外力线密度为F(x,Z),则此段在任意时间段也』2)中内力和外力产生的冲量为:『T^2uxxdx+^2F(x,t)dxdt(1.8)f时刻的动量：j2put(x^t)dx从
5、心时刻到£时刻动量的增量:p[wz(x,Z2)-)]rfx=j2p『utt(x^t)dtdx由物理学定律，冲量应等于动量的增量，所以:X2judx+•4人
6、2F(xyt)dx力=J2pJ2Utdtdx+F(x^t)]dxdt=JXp也力由Gt2,xr兀2的任意性得:记a1Tuxx+F(x,t)=puttf(x,t)=F(X,t),则有：ppd2U2°纭ri北F拧+/g)上页下页I返回Id2U2护=a兽+/g)dx/(x,r)表示时刻i在点兀处，单位质量的弦所受外力。方程(1)称为弦振动方程或一维波动方程。当F(Q)三
7、0时，⑴变为方程(2)是弦的自由振动方程。方程(1)是弦的强迫振动方程，通称为非齐次振动方程或非齐次一维波动方程。1.定解条件的提出1)初始条件：已知弦在初始时刻尸o时的位置和速度u(x,O)=(p(^)?。"严。)=屮(兀)(0<兀<2)(3)ot1)边界条件：已知弦在两个端点的性态边界条件可有几种不同的形式：①弦的两端固定：(见图1)m(0昇)=0，w(Z,Z)=0(4)式(4)称为第一类边界条件，或Dirichlet边界条件。••丘丘齟②弦的端点是自由的，可在垂直于兀轴的直线上自由滑动，此时合力在”方向的分量为
8、0,即加(0』)加(U)称为第二类边界条件或Neumann边界条件。(Tsin9~Tiix)更一般的第二类边界条件：加(°“)../八../八心—=—=卩2⑴⑸dxdx“1和比是已知函数①弦的端点固定在弹性支承上。此时，弹性力与弦对支承的拉力(弦在端点的张力在垂直方向的分量)相平衡(见图4),描述为更一般的描述:边禾条件氐1，&2分别为X=0,X=弹性支承的弹性系数求方程(1)或(2)满足初始条件(3)以及某类边界条件的解，这种定解问题称为混合问题或第一(二、三)类混合初边值问题。另一种极端情形：设弦很长，而所要考察
9、的一部分弦离边界又很远。此时可在无界区域上考察方程(1)或(2)满足初始条件(3)的解。称为初值问题或柯西(Cauchy)问题.1.膜振动方程的导出以膜振动方程为例，导出二维波动方程。设膜的平衡位置为"y平面，以工，曲）为r时刻膜上（兀』）处的位移（垂直于兀oy平面）。则膜振动方程为d2u其中P为膜的面密度，T是膜上任一点的张力。F（x,y,t
