数学物理方程和定解条件导出

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1、第六章数学物理方程和定解条件的导出6.1波动问题1.一长为l的均匀细杆，x0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b后静止（在弹性限度内），突然放手任其振动，写出振动方程与定解条件。解：（1）方程：2usdx[(xdx)()]xs2t22uu(,xdxtu)(x,tu)dxY[]Ydx22txxxY2uuauttxxxx（2）边界条件ut(0,)0Ft()ult(,)0(t0自由振动)xYs（3）初始条件bbu(x,0)u(x,0)

2、x,(由比例得)llxu(,0)0xt2.长为l的弦两端固定，密度为，开始时在xc处受到冲量I作用，写出初始条件。解：（1）初始条件1）初位移，t0时弦来不及振动，故ux(,0)0t22）初速度，在xc段，由动量定理：ΔPFdtI,而动量的变化t1I为ΔPmux(,0)2ux(,0)，将两式联立，有ux(,0),xcttt2在xc段，没有受到外界作用，故ux(,0)0,xct3.长为l的均匀细杆，在振动过程中x0端固定，另一端受拉力

3、F的0作用，试写出边界条件（杆的横截面积为S,杨氏模量为Y）.解：我们取(0,)和(,ll)段进行研究，设杆的体密度为，2u对于(0,)段，由牛顿第二定律有：spF20t由胡克定律upYsxx2uusYsF20txxu当0有YsF00xx0uF即0xYsx02uu对于(,ll)段有sFYs20txxluF当00有xYsxluuF故其边界条件为0xxYsxx0l4.线密度

4、为长为l的弦，两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单u位长度的弦所受阻力Fh，试写出其运动方程。t解：任取(,xxdx)一小段弦进行研究，由牛顿定律在垂直方向有2uuTsinTsingdxhdxdxxdx21x2tt水平方向有TTcoscos0xdx21x我们研究的范围限于微小振动0,即coscos12121亦即TTTxdxxuu且sintan,sintan1122xxxxdxuuu2uT

5、gdxhdxdx2xxttxdxx2uuuT()dxgdxhdxdx2xxtt22uuuTgh22xtt因为g这项很小，可以忽略不计22uTuhu所以022txt2T令a22uu2hu故运动方程为：a022txt5.一根均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，垂直于平衡位置作微小的横振动，求其振动方程。解：应用牛顿定律于纵向及横向。（1）纵向。由纵向加速度为零T(x+dx)cosT(

6、)cosxgdx021dTgdx积分xTxT()(0)gdxgx0TxT()(0)gxglx()（2）横向T(x+dx)sinT()sinxudx21tt因sintgux[]Tu[]Tuudxxxdxxxtt[]Tudxudxxttx[]Tuuxttx11联立:[uTu][g(lx)u]ttxxxxglxu()guxxx6.2热传导问题1.长为l的均匀细杆，，侧表面绝热，x0端有恒定热流密度

7、q流入，1x(lx)xl端有恒定的热流密度q流入，杆的初始温度分布是，试写22出相应定解条件。（单位时间内通过单位面积的热流量称为热流密度）x(lx)解：由题知初始条件为uxt(,)。为得到边界条件分别研究t020,ll两小段。u由傅里叶定律：dQkdAdt，在0一小段有nuqdAdt()kdAdt01xuq当10时，xkx0同样对于ll一小段有uq2xkxl故其定解条件为xlx()uxt(,)t02uuqq

8、12,xkxkxx0luH2.推导边界条件（6-2-11）huhu,其中h1nk3.半径R金属圆柱，表面涂黑，太阳光垂直于柱轴照射到圆柱体侧表面的一半，设单位时间内垂直于太阳光入射方向上单位面积通过的热0量为，外界温度为q0c，试写出这个热传导问题的边界条件（提示：选用极坐标）。解：考虑表面积为厚度为的箔层。s①太阳光垂直入射，dt内流入箔层热量：qssindt0Q102②由牛顿冷却定律