吴老师第1讲数学物理方程的导出和定解条

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1、数理方程主讲教师：吴楚芬联系方法：13690557735第一讲一、引言问题一、什么是数学物理方程？数学物理方程通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程。用来描述物理规律（研究的物理量在空间中的分布规律和在时间中的变化规律，物理量：声压、质点位移、温度、电势、电场强度等）。第一讲问题二、为什么要研究数学物理方程？描述复杂物理现象、揭示其内在的物理规律。如：声波在一定环境下的传播规律。在工程应用中，对物理规律进行预报：声传播损失的预报和传递函数的预报。工程设计需要:比如超声换能器设计，声纳设计预报。第

2、一讲图1.2传播损失图2第一讲图1.1传播损失图1前后课程联系：基础课程：高等数学（一元和多元微积分，幂级数和Fourier级数、微分方程、场论、线性代数）普通物理（力、热、电、机械波（声））复变函数（解析函数、解析延拓、留数定理、积分变换（Fourier和Laplace变换））第一讲参考教材：数学物理方法学习指导(数学物理方法部分)姚端正，高等教育出版社数学物理方程.季孝达等.科学出版社，2005.第一讲考核方式试卷成绩*70%+平时成绩*30%HarbinEngineeringUniversity第一讲数学物理方法研究问题的步骤：1、写出定解问题：包括泛定方程和定解条件

3、，把物理的问题转化为数学语言（数学语言翻译物理规律）。2、求解：数理方程的求解方法大致有行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变换法、复变函数法、变分法、数值解法等。以上解法我们将在以后一一阐述。3、分析解答：解出答案，需分析其意义及适定性。适定性：指解是存在的唯一的而且是稳定的。4、对物理规律进行解释。第一讲第一讲：数学物理方程的导出和定解条件§1.1数学物理方程的导出导出步骤确定物理量:速度、位移、…研究邻近点的相互作用（抓主要矛盾，忽略次要矛盾）短时间内这种相互作用对所研究物理量的影响将这种影响用数学关系式表达出来，并简化整理→数学物理方程第一讲1、均匀弦的

4、横振动方程有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上作小振动．列出弦的横振动方程。u(x,t)第一讲1、均匀弦的横振动方程HarbinEngineeringUniversity几点假设：弦是柔软的：弦是柔软的，弦内相邻点之间只存在张力，张力沿着弦的切线方向，一个小段的振动必定带动它的邻段，而邻段又带动它自己的邻段，这样，一个小段的振动必然传播到整个弦。这种振动传播的现象叫作波。忽略弦所受重力的影响弦没有纵向振动。弦的横向振幅很小。第一讲均匀弦的横振动方程推导1、确定物理量：位移量—2、研究邻近点的相互作用：受力分析3、短时间内这种相互作用

5、对所研究物理量的影响：物理定律：F=ma4、数学语言描述，并简化整理→数学物理方程第一讲建立如图的坐标系，取很多小段的一段进行分析：进行受力分析：（1）（2）所取小段的纵向和横向运动方程分别为：——弦的横向加速度方程推导续：因为是小量，利用泰勒展开，可有以下近似：（1）（2）两式可化为：（3）（4）弦中各点的张力T相等；张力既跟空间量无关，由于时间无关，记为常数T。进而：（5）第一讲因为dx很小，所以：（5）（6）（7）（8）—弦自由振动方程——a为弦横振动的传播速度。第一讲受迫振动方程：当弦在振动过程中还受到外加的横向的作用力时，设每单位长度弦所受的横向力为F(x,t),

6、则（2）式应修改为：（2）（9）第一讲受迫振动方程续：（10）——受迫振动方程（8）其中：为力密度，表示单位质量所受的外力。第一讲2.均匀杆的纵振动方程第一讲利用牛顿运动定律建立方程：位移变量应变应力胡克定律：应力和应变成正比Y：杨氏模量，即物体单位应变所产生的应力应力：单位面积上所受到的力2.均匀杆的纵振动方程第一讲2.均匀杆的纵振动方程第一讲——纵振动在杆中的传播速度—杆的纵振动方程每单位长度上每单位横截面积所受纵向外力F—杆的受迫振动方程3．热传导方程物理定律：能量守恒定律和热传导的Fourier定律热传导的Fourier定律：若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就有

7、一定的热量传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成正比。q-热流密度，单位时间单位面积流过的热量；k-热导率三维空间第一讲热传导方程续：图1.5热传导方程选取的体元时间内沿x方向流入体元的热量：建模：选取以长方体为体元则：（11）第一讲时间内沿y方向流入体元的热量：时间内沿z方向流入体元的热量：（12）（13）能量守恒定律：净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。第一讲（14）这里是介质的密度，c是比热容记：Laplace算子（16）（15）扩散率，或温度传导