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《习题11数学物理方程和定解条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、201．一长为l，横截面积为S的均匀弹性杆，已知一端（x=0）固定，另一端在杆轴方向上受拉力F而平衡。在t=0时撤去外力F。试推导杆的纵振动所满足的方程，边界条件和初始条件。假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况相同uxt(,)表示杆上x处在t时刻相对于平衡位置的位移。取杆上长为dx的一小段，用Pxt(,)表示应力，由牛顿第二定律，22∂u∂Pu∂⎡⎤PxdxtPxtSdm()+−,,()=，代入dm=ρSdx得=ρ。由Hooke定⎣⎦22∂t∂x∂t22∂u∂∂uu1E律PE=可得−=0，其中a
2、=。222∂x∂xat∂ρ2∂∂uu取右端长为ε的一小段，由牛顿第二定律有FtES()−=ρεS2∂∂xtxl=−εxl=−αε∂u（01<<α），令ε→0有FtES()−=0。（a）∂xxl=∂u当t>0时Ft()=0，所以=0。由于左端点固定，故有u=0。x=0∂xxl=∂u令（a）式中t=0有FE−S=0。因为平衡时应力处处相等，所以该式对于任∂xxl=t=0∂uF意x∈[0,l]都成立，即FE−S=0，对x积分可得ux=（注意到t=0∂xESt=0∂uu=0）。初始时处于平衡状态，各处速度为0，
3、即=0。x=0∂tt=0⎧∂∂22uu1⎪−=0222⎪∂∂xat⎪⎪∂u综上该定解问题为⎨ux=0==0,0。∂x⎪xl=⎪Fu∂⎪ux==,0t=0⎪⎩ES∂tt=0202．一均匀弹性杆，原处于静止状态。其一端（x=0）固定。从t=0时刻起，在另一端（x=l）单位面积上施加外力P，力的方向与杆轴平行。试列出杆的纵振动方程，边界条件和初始条件。∂u∂uP将上题（a）式写成PtSES()−=0，则t>0时=。∂x∂xExl=xl=∂ut=0时令Pt()=0则有=0，同上题讨论可得u=0，其他条件与上题同
4、。∂xxl=t=0t=0⎧∂∂22uu1⎪−=0222⎪∂∂xat⎪⎪∂uP该定解问题为⎨ux=0==0,。∂xE⎪xl=⎪∂u⎪u==0,0t=0⎪⎩∂tt=0203．一均匀，各向同性的弹性圆膜，四周固定。试列出膜的横振动方程及边界条件。设ρ为面密度，任何方向单位长度张力是T。m沿ρ方向合张力为TT()ρ+ΔρϕαΔsin−ρϕαΔsin，ρ+Δρρϕ方向合张力为TTΔ−ρsinβρΔsinβ。ϕ+ΔϕϕΔuΔu在小振动近似下有sinαα≈≈tan，sinββ≈≈tan，再由牛顿第二定律得ΔρρΔϕΔ
5、ΔuuΔΔuuTT()ρρϕ+ΔΔ−ρΔϕ+ΔTρ−ΔTρΔΔρρρΔΔϕρϕρ+Δρρϕ+Δϕϕ2∂u=ΔρρρϕΔ（01<ε<，01<ε<），m212∂tρ+ερ1Δϕ+εϕ2ΔΔΔΔΔuuuu()ρρ+Δ−ρ−11ΔΔΔΔρρϕϕρ∂2uρρ+Δρϕϕ+Δϕm即+−=022ρρρΔΔϕTt∂ρερ+Δ1ϕεϕ+Δ22211∂∂⎛⎞uuu∂1∂T令Δ→Δ→ρ0,ϕ0得⎜⎟ρ+−=0，其中a=。2222ρρ∂∂⎝⎠ρρϕ∂at∂ρm2⎧21∂u⎪∇−u=0222211∂⎛⎞∂∂该定解问题为⎨at∂（极
6、坐标系中∇=⎜⎟ρ+）。22⎪u=0ρ∂ρρρϕ⎝⎠∂∂⎩ρ=R204．一长为l的均匀金属细杆（可近似看作一维的），通有恒定电流。设杆的一端（x=0）uu0温度恒为0，另一端（x=l）恒为，初始时温度分布为x。试写出杆中温度场所满足0l的方程，边界条件与初始条件。22IR由于热功率为IR，所以单位时间单位体积产生热量。所以热传导方程为lS22∂∂uuIRλρck−=，其中ρ为体密度，c为比热。若用λ表示线密度，则有ρ=，2∂∂txlSS2∂ukS2IR所以方程为−∇=u。∂tcλλcl22⎧∂∂ukSu
7、IR⎪−=⎪∂∂2tcλλxcl该定解问题为⎨。u⎪uu===0,u,u0x⎪⎩xx===00lt0l205．在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的吸收和增殖过程。设在单位时间内单位体积中，吸收和增殖的中子数均正比于该时刻该处的中子浓度ut(r,)，因而净增中子数可表为αut()r,，α为比例常数。试导出ut(r,)所满足的方程。用表示单位时间流过某单位面积的中子数，有qq=−∇Du。取一个六面体[x,,,xxy+Δ×][yyz+Δ×][zz+Δ]，Δt时间内沿x方向流入该六面体的中子数为2⎛⎞
8、∂∂uu∂u()q−qΔΔΔ=yztD⎜⎟−ΔΔΔ=yztDΔΔΔΔxyzt，xxxx+Δx2⎝⎠∂∂xx∂xxx+Δx22∂u∂u同样可得沿y，z方向流入该六面体的中子数分别为DxΔΔΔΔyzt和DΔΔΔΔxyzt。22∂y∂z六面体内中子数一共增加ΔΔΔΔΔuxyzt，增加数应等于流入中子数加上净增中子数，即222⎛⎞∂∂∂uuuΔΔΔΔ=uxyzD⎜⎟++ΔΔΔΔ+ΔΔΔΔxyztαuxyzt。222⎝⎠∂∂∂xyz∂u2两边同除ΔΔ
