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1、第一章典型方程和 定解条件的推导1.0预备知识－基本概念课程内容：研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义的分析。1.0预备知识－基本概念微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程*1.0预备知识－基本概念例如都是偏微分方程,偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程1.0预备知识－基本概念偏微分方程的阶:方程中未知函数的偏导的最高阶数是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程.例:1.0预备知识－基本概念线性偏微分方程:对于未知函数及其所有偏导数
2、来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程例是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程1.0预备知识－基本概念n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为这里和都是关于自变量的函数。如果，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。本课程的主要研究对象：1.0预备知识－基本概念根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；提出相应的定解问题1.0预备知识－基本概念1.1基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；
3、划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。1.1基本方程的建立例1.弦的微小横振动设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动坐标系oxu，位移u(x,t)x1x2T(x1)T(x2)ux（2）微小振动1.1基本方程的建立（3）弦柔软、均匀.张力沿切线方向,密度为常数；建立方程：取微元，研究在水平方向和铅垂方向在不受外力的情况下的运动情况。ux
4、T(x)Mxx+dx1.1基本方程的建立牛顿运动定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力为倾角很小，即近似得垂直方向的力为（1）于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t有（2）等式（2）可以写成uxT(x)MM’xx+dx由于令，取极限得略去重力，可得方程其中(3)弦振动方程（3）中只含有两个自变量和，其中表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。1.1基本方程的建立注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则弦的强迫振动方程为1.1基本方
5、程的建立例2.传输线方程研究高频传输线内电流流动规律。待研究物理量:电流强度i(x,t),电压v(x,t)R—每一回路单位的串联电阻,L—每一回路单位的串联电感，C—每单位长度的分路电容，G—每单位长度的分路电导，1.1基本方程的建立Kirchhoff第一,二定律微分形式两端对x微分两端对t微分*C相减—传输线方程高频传输，G=0,R=0—高频传输线方程与一维波动方程类似1.1基本方程的建立例3.声学方程Lapalce算子三维波动方程1.1基本方程的建立注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为1.1基本方程的建立奥氏公式例
6、4静电场的势方程在区域内,静电场强度为,介电常数,电荷密度为,求静电场的势满足的方程即故1.1基本方程的建立故即—Laplace方程—Poisson方程当 内没有电荷时静电场是有势场，故存在势函数u,有1.1基本方程的建立如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。考虑物体G内的热传导问题。函数u(x,y,z,t)表示物体G在位置M(x,y,z)以及时刻t的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体
7、的密度以及比热是常数。热场例5.热传导方程1.1基本方程的建立热场傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.从时刻到时刻经过曲面S流入区域V的热量为高斯公式1.1基本方程的建立流入热量使物体内温度变化，在时间间隔中物体温度从变化到所需吸收热量为比热密度由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守恒定律可得第一章典型方程和定解条件的推导由于时间,和区域V都是任意选取的,并且被积函数连续,于是得(非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同
8、性物体，k为常数，记则得齐次热传导方程:三维热传导方程*1.1基本方程的建立若物体内部有热源F(x,y,z,t),则热传导方程为其中1.1基本方程的建立二维热传导方程―维热传导方
