类典型方程和定解条

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1、数学物理方程第一章三类典型方程和定解条件第二章分离变量法第三章Laplace方程的格林函数法第四章贝塞尔函数及勒让德多项式第一章三类典型方程和定解条件三类典型方程数学物理方程的研究对象——定解问题。一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：一、波动方程二、热传导方程三、拉普拉斯方程若函数u(x,t)关于x,t都是二次连续可微的，并满足：则把上式（1.1）称为齐次一维波动方程。则把上式（1.2）称为非齐次一维波动方程。相应地，f(x,t)称作与u无关的自由项。若u(x,t)满

2、足：一、波动方程同理，若函数u(x,y,t)关于x,y,t都是二次连续可微的，并满足：则把上式（1.3）称为齐次二维波动方程。上式（1.4）称为齐次三维波动方程。若函数u(x,t)关于t是可微的，关于x是二次连续可微的，并满足：则把上式（1.5）称为齐次一维热传导方程。相应地，把上式（1.6）称为非齐次一维热传导方程。若u(x,t)满足：二、热传导方程同理，若函数u(x,y,t)满足：则把上式（1.7）称为齐次二维热传导方程。式（1.8）称为非齐次三维热传导方程。若函数u(x,y)与时间t无关，关于x，y是

3、二次连续可微的，并满足：则把上式（1.9）称为二维拉普拉斯方程。三、拉普拉斯方程式（1.10）称为三维拉普拉斯方程。用以说明初始状态的条件称为初始条件。用以说明边界上的约束情况的条件称为边界条件。初始条件与边界条件在前一节中，我们介绍了三类典型方程，讨论了将一个具体问题所具有的物理规律用数学式子来表示，除此以外，我们还需把这个问题所具有的特定条件也用数学形式表示。提出的条件应该能够用来说明某一物理现象的初始状态或边界上的约束情况。比如说波动方程（1.3）其初始条件有两个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。即

4、：一、初始条件都已知。及而热传导方程（1.7）其初始条件只有一个，就是参数u。即：是已知。另外，拉普拉斯方程是描述稳恒状态的，与初始状态无关，所以不提初始条件。从具体问题出发归纳出三种类型的边界条件，这三种边界条件都可以用一个数学式子来表示：二、边界条件其中s是区域的边界，n是s的法外向单位矢量，α、β、f是定义在s上的已知函数，且：α+β≠0。若α≡0，此时β≠0，则式（1.11）是第一类边界条件；若β≡0，此时α≠0，式（1.11）是第二类边界条件；若α≠0，β≠0，式（1.11）是第三类边界条件。如果

5、式（1.11）右端的函数恒等于零，这种边界条件称为齐次的，否则，称为非齐次的。定解问题的提法前两节我们介绍了三种不同类型的偏微分方程并讨论了与其相应的初始条件和边界条件的表达形式，这些方程中出现的未知函数的偏导数最高阶都是二阶，而且它们对于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的，则这种方程称为二阶线性偏微分方程。二阶线性偏微分方程的一般形式：其中，都只是的已知函数，与未知函数无关。若一个函数具有某偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中能使它变成恒等式，则此函数称为该方程的解（古典解）。初始条件和

6、边界条件都称为定解条件。把某个偏微分方程和相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为始值问题（或柯西问题）。反之，只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为边值问题。既有初始条件又有边界条件的定解问题，称为混合问题。一个定解问题提的是否符合实际情况，从数学角度来看，有三方面可以加以检验：1、解的存在性，看定解问题是否有解。2、解的唯一性，看是否只有一个解。3、解的稳定性，看当定解条件有微小变动时，解是否相应地只有微小的变动，若确实如此，则称此解是稳定的。如果一个定

7、解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。