数学物理方程的定解问题

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1、参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方2021-7-程4》（原书第四版），机械工业出版社，20071§牛顿是英国伟大的数学家、(IsaacNewton，物理学家、天文学家和自然哲学家。§牛顿于1642年生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村。1661年入英国剑桥大学圣三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫，他在此间制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年牛顿回剑桥后当选为剑桥大学三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任剑桥大学卢卡斯数学教授席位直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。

2、1703年任英国皇家学会会长。1706年受英国女王安娜封爵。在晚年，牛顿潜心于自然哲学与神学。1727年3月20日，牛顿在伦敦病逝，享年84岁2021-7-42数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。数学语言描述物理现象物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。2021-7-43二、定解条件:物理问题特殊性描述1边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2历史问题---初始条件体现历史状态的数学方程称为

3、初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件→不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。2021-7-444具体问题求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律．2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须的已知条件．53、求解方法——行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和变分法2021-7-45建模步骤：（2）研究物理量遵循哪些物理规律？（3）按物理定律写出数理方

4、程（泛定方程）。2021-7-46弦的横振动FT2021-7-47u(x)F研究对象:FT2u+du2选取不包括端点的一微元uB1[x,x+dx]弧B段作为研究对象.FT10xx+dx假设与近似：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：f(x,t)F(x,t)/质量线密度，2021-7-48u(x)FB段弦的原长近似为dx.FT2u+du2振动拉伸

5、后：uB122ds(dx)(du)FT120dx1(du/dx)xx+dxdxB段的质量：弦长dx，质量线密度，则B段质量m=dx物理规律：用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：2du牛顿运动定律：fmmu2021-7-42tt9dtu(x)FF①沿x-方向：T2u+du弦横向振动不出现x方向平移，2得力平衡方程uB1FcosFcos0（1）FT22T11T10xx+dx②沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程FsinFsinF(x,t)dx(dx)uT22T11tt（2）在微小振动近似下：

6、0,cos1.1，21，2由（1）式，弦中各点的张力相等FFT2T1FsinFsinuT22T11sintanu11xxxxFuuTxxdxxx2021-7-4sintanu1022xxdxF（uu）F(x,t)dx(dx)uTxxdxxxTttuuxxdxxxFF(x,t)FuF(x,t)uTTxxttdx2令aF/波速aTf(x,t)F(x,t)/波动方程：2uauf(x,t)ttxx受迫振动方程单位质量弦所受外力，线力密度………一维波动方程2021-7-41

7、1u(x)F讨论：FT2u+u如考虑弦的重量：2沿x-方向，不出现平移uB1FcosFcos（1）FgdxT22T11T10xx+x沿垂直于x-轴方向FsinFsinF(x,t)dxgdx(dx)u（2）T22T11ttdx0duFT2sin2FT1sin1FTuxxdxuxxFTduxFTddxduFdF(x,t)dxgdx(dx)uTttdx22u2u2a2fg------非齐次方程tx忽略重力和外力作用：………一维波动方程22u2u20

8、21-7-4a0------齐次方程1222tx热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流向低温处。数学建