数学物理方法 7 数学物理方程的定解问题

《数学物理方法 7 数学物理方程的定解问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、想要探索自然界的奥秘就得解微分方程——牛顿第二篇数学物理方程参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方程》（原书第四版），机械工业出版社，20072021/9/201第七章数学物理方程的定解问题在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。———拉普拉斯2021/9/202一、数学物理方程(泛定方程):物理规律的数学表示物理现象物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言描述泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。数学物理方程：从物理问题中导出的

2、函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。重点讨论：二阶线性偏微分方程。例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。2021/9/203三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程2021/9/20451边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件→不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题在

3、给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。它反映了问题的共性。二、定解条件2021/9/206具体问题求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律．2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须的已知条件．3、求解方法——行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法和变分法2021/9/207.1数学模型

4、（泛定方程）的建立建模步骤：（1）明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。（2）研究物理量遵循哪些物理规律？（3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。2021/9/207(一）均匀弦横振动方程现象描述（如图）：沿x轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置(x轴)附近产生振幅极小的横向振动目的：建立与细弦上各点的振动规律相应的方程设定:(1)弦不振动时静止于x轴;(2)用u(x,t)表示t时刻弦上任一点x在垂直于x轴方向上的横向位移（偏离）情况弦的横振动2021/9/208选取不包括端点

5、的一微元[x,x+dx]弧B段作为研究对象.研究对象:(4)设单位长度上弦受力F(x,t)，线力密度为：假设与近似：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略质量线密度，u(x)u+duu012T2T1xx+dxFB2021/9/209B段弦的原长近似为dx.振动拉伸后：u(x)u+duu012T2T1xx+dxBFB段的质量：弦长dx，质量线密度，则B段质量m=dx物理规

6、律：用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：牛顿运动定律：2021/9/2010①沿x-方向：弦横向振动不出现x方向平移，得力平衡方程②沿垂直于x-轴方向：由牛顿运动定律得运动方程在微小振动近似下：由（1）式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu012T2T1xx+dxBF（1）（2）2021/9/2011波动方程：波速a受迫振动方程单位质量弦所受外力，线力密度令………一维波动方程2021/9/2012………一维波动方程------非齐次方程------齐次方程忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：u(x)u+uu0

7、12T2T1xx+xBF沿x-方向，不出现平移沿垂直于x-轴方向（1）（2）因为：所以有：讨论：2021/9/2013（二）输动问题--扩散问题扩散现象：系统的浓度不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为扩散。①扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律数学建模：建立空间各点浓度u(x,y,z,t)的方程物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础②粒子数守恒定律：单位时间内流入某一体积的粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积内的单位时间内粒子数的增加量处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立

8、方体V为研究对象，分析浓度变化规律。2021/9/2014浓度不均匀:用浓度梯度表示；扩散流强弱（强度）：用单位时间通过单位面积的物质的量表示；扩散（裴克）实验定律：扩散系数设定：处理方法：在浓度不均匀的无源空间，划出任一小立方体V为研究对象，分析浓度变化规律。扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定