数理方程题库

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1、第一部分分离变量法一、(1)求解特征值问题(2)验证函数系关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程.进一步，当时，求和时的值.三、（方程非齐次的情形）求定解问题四、（边界非齐次的情形）求定解问题五、（Possion方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2)3)4)2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以

2、用Laplace变换求解。第二部分积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题(1)用积分变换法推导达朗贝尔公式(2)用特征线法推导达朗贝尔公式(3)用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题注意：只考应用Fourier变换和Laplace变换求解方程的问题第三部分特征线问题一、判断方程的类型.二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1)若初始位移和初始速度为奇函数，则(2)若初始位移和初始速度为偶函数，则三、请用下列方法求解定解问题(1)用特征线法求解(2)用积分变换法求解第四部分Legendre多项式一、将在区间内展成勒让德多项式的级数二、在半径为

3、的球内求调和函数，使（提示：边界条件仅与有关，解也同样）第五部分Green函数20、证明：（弱），其中21、证明：（弱）22、证明：当时，弱收敛于23、求在上的余弦级数，并证明该级数若收敛于24、求在上的正弦级数，并证明该级数若收敛于