关于lq随机最优控制问题的riccati矩阵微分方程

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1、摘要最优控制理论是现代控制论中的一个重要分支。R．E．Kalman[3]首先提出对线性系统采用积分二次型最优评价指标，从而形成线性二次最优控制(LQR)问题。根据数学模型不同，又可以将最优控制问题分为确定性最优控制问题和随机最优控制问题。前者是指控制对象的运动规律可以用确定的数学模型来描述，其核心内容是在控制对象性能指标最优的条件下，求系统输入变量(控制变量)的变化规律，或求控制变量与状态变量之间的关系。随机最优控制问题的特点是控制对象具有不确定性，而且输入与输出中均存在随机的变量，同时以随机评价指标的数!学期望

2、为最优性评判标的。无论是确定型线性二次最优控制问题还是随机线性二次最优控制问题都可以分为有限时间系统问题和无限时间系统问题两种类型。本文主要涉及有限时间系统的随机线性二次最优控制问题和倒向随机线性二次最优控制问题，这两类问题的求解在一定的条件下可以归结为Riccati矩阵微分方程的求解问题。本文共分三章。在第一章中，主要介绍了确定型线性二次最优控制问题和随机线性二次最优控制问题的相关理论和基本性质，并给出与此相关的Riccati矩阵微分方程(【11，【2】，【3】)。在第二章中涉及S．Chen等人在[1]oe给出

3、的一类随机线性二次最优控制问题，此问题的解取决于以下Riccati矩阵微分方程：户+f以+彳’P一尸曰(R+D2，D)一1B'P+Q=0P口)一HK+DfPD>Q对于求解上述Riccati矩阵微分方程，J．Zhu在[21d0提出了一个算法，该算法从第二步起通过求解线性的矩阵微分方程，得到迭代序列，收敛到原方程的解。然而陔算法的第一步是求解一个非线性的常规Riccati矩阵微分方程而得到初始的迭代解，这样就限制了该算法的计算效果。而将J．Zhu算法加以改进较为困难(【2】)。在这一章里我们给出了能够用线性矩阵微分方

4、程求得初始迭代解的方法，其后的每一步则可以继续按照【2】中的算法进行。这样得到的序列也收敛到原方程的解。由于我们所选择的初始步骤bg[2ld0的算法简单，这样就使得我们的算法比【2】中的算法具有更好的计算效果。在这一章里我们给出了实例以验证这一点。本文第三章涉及X．Y．Zhou在【8】中给出的一类在倒向随机微分方程下的线性二次最优控制问题，该问题的求解取决于一类混合型的Riccati矩阵微分方程。本章构造了一个线性迭代算法以求解这类Riccati矩阵微分方程。摘要关键词：最优控制，线性二次最优控制，随机线性二次最

5、优控制，Riccati矩阵微分方程，倒向随机微分方程ⅡABSTRACTThisthesisfocusonoptimalcontroltheorywhichisanimportantaspectofmodeITIcontroltheory．K．E．Kalman[1】introducedthelinearsystemwithquadraticindicators，comingintolinearquadraticregulator(LQR)problems．Basedonthevariedmathematicalmo

6、dels，theoptimalcontroltheorystudiesbothdeterministicproblemsandstochasticproblems．Thisworkismainlyonstochasticlinearquadraticregulatorproblemandbackwardstochasticlinearquadraticregulatorproblem．Undercertainconditions，solvingtheseproblemscanbeattributedtoclass

7、icalRiccatimatrixdifferentialequations．Thethesishastreechapters．1nthefirstchapter,thereisintroducedrelevanttheoryandbasicaspectsaboutdeterminelinearquadraticregulatorproblemandstochasticlinearquadraticregulatorproblem(【1】，【2】，【3】)，withpresentingtheassociatedR

8、iccatimatrixdifferentialequations．Thesecondpartconsidersstochasticlinearquadraticregulatorprobleminaccordancewith【1】．ThesolutionofthisissueiscloselyrelatedwiththefollowingstochasticRiccat