奇异型随机Riccati方程.pdf

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1、目录第一章总论第二章预备知识第三章万二〔)的情况第四章讨论Bellman拟线性化序歹lJ的收敛速度奇异型随机RiCCati方程张见轩082018055摘要:本文们日己卜谊l的。x，，矩阵取故的随机RicC时i微分力一程，其中，2>1、少.、了.砚.(几jU.二卜、;八+只八，+C只C，+乙洲今L，+口，一(月方，十乙犷只D，)(从。刀汀今D，)一’(月B，+乙丫PtD，)‘{(lt+(几只+只L，)爪。，，t任((j，州:这个方程介比退化的条件:百全:I乙卜的曰J一解性已经得到了证明。本文将会证明内_适当的条件下，上述方程钧_介异情形N二O之下仍存

2、在唯一适应解。文爪最后i一寸沦J’卜述勺‘程在L一O时日enl，、、、11拟线性化迭代序列的收敛速度。关键字Ri(」。::，力一程，LQ问题，随机控制，B川112al，拟线性化力法.月录2AbollttheSingularStoehastieRieeatiEqliatiozlDrivenbyaBrowliianMotiol、abstraet:InthisPaPer，weeonsiderthefoll()will箕介又z了matrix一valued、toehastieRjeeatidifferentialeq、:ation，wheren>1:dPI=

3、!A育只十只A，+ePt岛+L犷几L，+口，一(月B，+Ct*只D，)(凡+g只D，)一‘(几B，+卿只D，)‘}介+(L下只+只L，)d，。，，，t任(0.T}:月)二八I.Wel)，()vetllatit、till11、一托au;11〔一l(一、、一L*、l，(、11zt(、g一、、1)l(:、()llzri()11丘)l·tll(、(::，」、(·〔)fN=().Fillall玉·weol、ogiv(:、、lze、ti一:飞t(、士又)一tll(、(;》l一v(、l·g(。l一。宁一:、t(、〔)lltl一(、it(·z、:、ti;19、e(

4、It，。;leeofBell，11011QoLa、i一Li，二、:、;12、、ti。川‘，I，1，。:，l)o*·St‘〕ell:t、ti〔:Rie(一、，tiE(luatioll111theeaseofL=().KeyVVords:R了ieeatiEqliation，L(之P，、《)})I〔、:1，.St()〔、11。、tie〔)o，ltrol，Boll:11。，1:P:i，leil)I(:ofQu、、、1Liilea;注zatioll.第一章总论在线性一次随机最优控制问题的讨论中引出的RICcati方一程是一个倒向随机微分方程，其形式如下:=一

5、了尸(云.兀，，Z;)。l艺+/，。l‘、，，t任)O，T)，(l)=八f.这个方程记为BSRDE(A，B，C，D，Q，N，M)，其「卜F(沂，厂。，Z;):=盯K。+K‘A‘+衅I’沈Cz十叮Z‘+Z。叹十口:一(Ix’，B，十叮I’r，D，+Z，D，)(万。+gK，D:)一’(Ix’，B‘十鲜K‘D‘+易D，)‘.法国数学家Bi、11llt在其论文!1}里最先讨论了线性随机系统的二次最优控制问题，并提出了上述方一程.这个方程解的存在唯一性是学术界讨论的热点.Pellg在同里用Bellman拟线性化方法和单调收敛方法证明了D=。时解的存在唯一性

6、.Bisll[lt指出了方程的困难在于K，Z是以二次项的形式出现.对于一般系数的情况下方程的可解性悬而未决.Peng在1998年将其列在了他总结的倒向随机微分方程的若干公开问题!川川.Tallg于2003年在其沦文{6}件一，证明了一般系数的情况卜B别飞DE方程的可解性，从而解决了这一公开问题.严佳伟在他的论文[10{卜仕.研究了一个与上述Ri(t(爪.1方程相联系的Riccati方程:、J.了气.!吮召只0)一口(2.只)(/t十(L育只+几L，).l州;.丈任(0.川:(1.2)其r「，G(六只):一八声月+只八沂十C厂只C，+五丈只L‘+Q‘

7、一(P，B，+衅月D，)(N，+g只D丈)一，(月召，+C只D‘)‘第一章J总论这里{lI)，，0三t三T}是一维Browl运动.月取值为n阶矩阵.系数A，，B;，已，D。，从，Ll，认分别是?认‘伙n‘了几，nx了。，。又。，。又二，?*火?I厂，;火抖阶矩阵值，{另，0三，三T升适应的随机过程.(几，多，P:{只})是满足通常条件的带流概率空间，M是几可测随机矩阵.土标*表示矩阵的转置.方程(1.2)是矩阵值的非线性随机微分方程.其解的存在唯一性的困难在于两处:笆先它是矩阵值方程，而矩阵的乘法不可以交换:其次力一程的右端有非齐次项:(只B，+g

8、月D泛)(凡+g只D泛)一‘(P，召，十叮月D:)’，这使得漂移项不满足Lip、llitz连续条件，通常文献里关少随机微分