一类非线性演化方程族的可积耦合

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1、2005年3月高等学校计算数学学报第27卷第1期一类非线性演化方程族的可积耦合张玉峰(辽宁师范大学数学学院，大连116029)许日才(山东科技大学成人教育学院，泰安271019)闫庆友(华北电力大学(北京)工商管理学院北京102206)INTEGRABLECoUPLINGSoFATYPEoFNONLINEAREVOLUTIONEQUATIONSZhangYufengMathematicalSchool，LiaoningNormalUniversity,Dalian116029)XUYuecai(AdultEducational

2、School，ShandongUniversityofScienceandTechnology,Taian271019)YanQingyou(SchoolofBusinessAdministration，NorthChinaElectricPowerUniversity，Beijing102206)AbstractStartingfromaTuGuizhang’Sisospectralproblem，aLaxpairisob—tainedbymeansofTuscheme(wecal1itTuLaxpair)．Byapplyi

3、ngagaugetransformationbetweenmatrices．theTuLaxpairiSchangedtoitsequivalentLaxpairwiththetracesofspectralmatricesbeingzero，whosecompatibilitygivesrisetoatypeofTuhierarchyofequations．BymakinguseofahighorderloopalgebraconstructedbyUS，anintegrablecouplingsystemoftheTuhi

4、erarchyofequationsarepresented．Especially，asreductioncases，theintegrablecouplingsofthecel—ebratedAKNShierarchy，TDhierarchyandLevihierarchyare百yenatthesametime．国家自然科学基金(编号50275013，60174037)资助．收稿日期：2003-04一10．2005年3月高等学校计算数学学报Keywordsintegrablecoupling，loop~gebra，isos

5、pectralproblem．AMS(2000)subjectclassifiqations35Q51中图法分类号O175．29、1引言众所周知，寻求可积系统是孤立子理论中的一项重要研究课题【1】．如何寻求已知可积系统的扩展可积系统是寻求可=积系=理论中的一个重要方面，对此我们已经做了一些工作[2-4】，本文中我们考虑了文献【5】提出的一个Lax对，我们称其为屠一Lax对，即q+：1n，，0n一’一c0==)／，＼这里1，2为常数，且1≠；Pl，P2，q，7’为位势函数；1，2为任意常数或函数由文献【5】知，(1)的相容性导出

6、一类非线性演化方程族／，●一／一"Plt=ln2，P2t=n2，qt：6n+1+(1n～如n)口，Tt=一cn+l+(如n一1n)7’．(2)+rpm当选取恰当的1，2后，(2)可化为广义Hamilton形式：u(rq)6Hn~1，(3)0●n＼、，其中王一1为Hamilton函数，，J和分别为辛算子和递推算子．、●-、、我们发现，Lax对(1)中的谱矩阵之迹不为零，因此无法应用文献【2,3】中提出的高阶loop代数求系统(2)的可积耦合系统，为此我们作如下的一个规范变换．考虑一个等谱问题㈣z=U(u，)，U=U1(u，)+e

7、(u，)．(4)这里二阶矩阵e(u，)满足：使U为齐次秩，且【e1=【ej”】=0．．(5)令，n=，n(u，)为与U同阶的矩阵且满足【，，n】：【e，，n】=0，et=，n．(6)记(n)：“’+，n，则有一“)+【(“】=￡一+【，“】=0，．48．张玉峰等：一类非线性演化方程族的要积耦合第1期且p新的Lax对的相容性也导出系统(2)，但Lax对(7)与(1)不同．令e：一三((+。)A+Pl+P2)(。1)，A=一(·+。)(。1则易验证e和，n满足(5)和(6)，此时(7)即为∑一+m、，0一，●●，、【肌～+一2苎<

8、．暑z·=II(8)也就是说，新的Lax对(8)的相容性条件是(．2)，且(8)中谱矩阵之迹均为零．qq一2可积系统(2)的可积耦合取loop代数A1的基为∑一m．f^cn=(0一on)，ecn=(0)，f(n：(o)，1I[^(仇)，e(n)]=2e(m+n)，[^(m)，