数学毕业论文Riemann积分可积性理论探讨.docx

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1、Riemann积分可积性理论探讨Riemann积分可积性理论探讨摘要本文较为系统地讨论了积分可积性理论：通过分析诸多积分概念的共性，抽象定义了积分，详细讨论了其可积性理论，得出了可积函数类.从极限理论出发定义了正规函数，其可积性理论统1了积分的3个常用的充分条件，并用理论和有限覆盖定理予以证明.通过定义0测度集给出了可积函数的特征，讨论了其几乎处处连续与极限存在的关系，从而得到了从函数可积性到连续性，从连续性到极限存在性的函数特性理论，即可积函数中极限的几乎处处存在与几乎处处连续是等价的，得出比正规函数更加宽泛的统1条件，得出了有界变差函数是可积函数的结论.通过定义多维0测度集将可

2、积函数的特征扩展到多维情形，同样统1了多维情形的充分条件，建立了多维情形的可积性理论.关键词积分；可积条件；正规函数；几乎处处连续；0测度集；极限ThestudyofthetheintegrabilityofRiemann’sintegralTheoryABSTRACTThispaperdiscussestheintegrabilityofRiemann’sintegraltheorysystematically:Byanalyzingthecommoncharactersofalotofintegralcalculus,itabstractstheconceptofRiemann

3、integralanddiscussesitsintegrabilityofRiemann’sintegraltheoryandthengetsintegrablefunctions.Itdefinestheregulatedfunctionfromthetheoryofextremelimit,Theintegrabilitytheoryoftheregulatedfunctionunifiesthethreecommonsufficientconditionsoftheintegral,thenthepaperprovesthatwiththeDarbouxtheoryandH

4、eine-Boreltheory.BygettingLebesguecharacteristicofintegrablefunctionofRiemannfromthedefinitionofGatherzeromeasure,discussingtherelationbetweenalmostcontinuouseverywhereandexistentoflimit,itgetsthetheorywhichisfromthefunctionintegrabilitytotheconsecutionandfromconsecutiontothelimitexistence.i.e

5、.thealmostlimitexistenceisequaltothealmostcontinuouseverywhereintheintegrablefunctionofRiemann.ItalsogetsaunifiedconditionwhichhasawiderrangethanregulatedfunctionandcomestotheconclusionthatthefunctionofboundedvariationistheintegrablefunctionofRiemann.ItexpandsLebesguecharacteristicofintegrable

6、functionofRiemannthroughthedefinitionofgatherzeromeasureandbuildsupthetheoryofmanyintegralcalculus.Keywords:Riemannintegral;Integrablecondition;Regulatedfunction;Almostcontinuouseverywhere;Gatherzeromeasure;ExtremelimitRiemann积分可积性理论探讨摘要本文较为系统地讨论了积分可积性理论：通过分析诸多积分概念的共性，抽象定义了积分，详细讨论了其可积性理论，得出了可积

7、函数类.从极限理论出发定义了正规函数，其可积性理论统1了积分的3个常用的充分条件，并用理论和有限覆盖定理予以证明.通过定义0测度集给出了可积函数的特征，讨论了其几乎处处连续与极限存在的关系，从而得到了从函数可积性到连续性，从连续性到极限存在性的函数特性理论，即可积函数中极限的几乎处处存在与几乎处处连续是等价的，得出比正规函数更加宽泛的统1条件，得出了有界变差函数是可积函数的结论.通过定义多维0测度集将可积函数的特征扩展到多维情形，同样统1了多维情形的充分条件，建立了多