可积系统和随机矩阵：riemann-hilbert方法

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1、万方数据论文独创性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。作者签名：彳磊。日期：皿论文使用授权声明本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。作者签名：墟导师签名：一坐生矽万方数据指导教师：范恩贵教授指导

2、小组成员：范恩贵教授周子翔教授丁青教授张仑副研究员万方数据中文摘要英文摘要目录57第一章绪论11研究背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11．2主要工作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，，．，．．，．．，，．5第二章可积系统和二阶Riemann—Hilbert问题72．1Fokas—Lenells方程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．72．2谱分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．82．2．1谱函数．．．．．．．．．．．．．

3、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．92．2．2Riemann—Hilbert问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．102．2．3谱数据随时间演化．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．142．3解的长时间渐进分析．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．152．3．1非线性速降法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．152．3．2解的长时问分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17第三章可积系统和三阶Riemann—Hilbert问题563．1Sasa—

4、Satsuma方程．，．．．．，．．．．．．．．．．，．．，．．．．．．．．．．563．1．1谱分析．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．573，1．2Riemann—Hilbert问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．683．13非线性化边界条件．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．693．2三波方程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．833,2．1谱分析．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．．．．．．．．．843．2．2Riemann—H

5、ilbert问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．92第四章随机矩阵和四阶Riemann—Hilbert问题4．1带源随机矩阵模型．．．．．．．．．4．1．1三个特征值情况下的关联核399100万方数据4．1．2Riemann—Hilbert问题4．2大n极限．．．．．．．．．．4．2．1微分方程．．．．．．4．2．2R．iemann曲面．．．．．．．4．2．3第一次变换．．．．．．．．．4．2．4第二次变换．．．．．．．．．4．2．5标准Riemann—Hilbert问题4．2．6边界点上的参数矩阵解．．4．2．7第三次变换．．．

6、．．．．．．4．3主要定理参考文献致谢博士期间发表或完成的论文9148058237in圳n¨n挖吨_￡j坞玛培。万方数据可积系统和随机矩阵：Riemann—Hilbert方法摘要本文主要讨论Riemann．Hilbert方法在可积系统、正交多项式和随机矩阵中的三方面应用。利用Delft—Zhou非线性速降法严格分析了可积系统初值问题解的长时间渐进性为；利用F0l(as统一方法，求解高阶非线性方程初边值问题；利用Deift—Zhou非线性速降法研究了随机矩阵中的普适性问题。按照所涉及Riemann—Hilbert问题的阶数分为三章：第二章，主要讨论了F

7、okas—Lenells方程具有充分衰减初值条件下的解的长时间渐进行为。由于所讨论的Fokas—Lenells方程Lax对是2×2阶的，这意味着所对应的Riemann—Hilbert问题也是2X2阶的。利用非线性速降法，通过跳跃曲线的一‘系列变换，最终将问题转化为一个可解的标准Riemann—Hilbert问题。最后将标准Riemann—Hilbert问题转化为一个抛物柱面方程，利用该抛物柱面方程的渐进性以及一系列的逆变换反推到Fokas．Lenells方程解的渐进性。第三章，主要是讨论对应于3×3阶谱问题的Sasa—Satsuma方程和三波方程的半

8、直线上的初边值问题。利用Fokas方法将求解这两个方程半直线上的初边值问题转化为相应的3×3阶的Rieman