穿衣方法与离散可积系统

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1、郑州大学博士学位论文穿衣方法与离散可积系统姓名：朱俊逸申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：耿献国20060501郑州大学博十学位论文摘要穿衣方法最早是由zakhrov和shabat在上个世纪70年代创立的，它从一个积分算子F和两个voltcⅡa算子K+出发，利用积分算子的三角分解关系得到Gel'fand工evitan方程．然后利用穿衣关系将已知常系数可交换微分算子(初始算子)Mhf．1，2，变为可交换的穿农算子Mj，J=1，2，并由此得到非线性演化方程．为了得到此方程的解，就需要从积分算子F与已知算子M，，J=1，2的可交换性求得积分核F，最后由Gel’fand—Le

2、vit矗n方程构造出微分核Ⅳ的表达式，从而可得方程的解．推广的穿衣方法是由常系数可交换的算子Mf，J=1，2，推广为变系数的算子，并且满足推广的可交换关系利用定理2．3，以及与上面的方法相平行的方法，就可以得到一系列的变系数演化方程，以及它们的解．利用这种推广的穿衣方法，可以得到一大类的演化方程，而不再是孤单的一个方程．接下来，作者利用推广的穿衣方法首先考虑了AKNs谱问题，利用两组变系数初始算子对，分别得到变系数耦合mKdV方程和变系数耦合NLs方程，同时，还给出它们的显式解．并利用分解的思想，将(2+1)．维变系数KP方程分解为已得的(1十1)一维变系数耦合mKdV方程

3、和变系数祸合NLs方程，然后利用(1+1)一维变系数耦合mKdv方程和变系数耦合NLs方程的相容解，得到变系数KP方程的显式解．作者考虑推广穿衣方法的另一个应用是得到交系数Ds方程，同时，得到它们的显式解．穿衣方法的理论发展主要有两种：一种是基于硒emaIln—Hilbert问题的穿衣方法，即一定程度上的经典Darboll)【变换方法；另一种是基于局部孕问题的石．穿衣方法．本文在第3部分首先介绍了压穿衣方法，包括方程的构造和解的构造，然后介绍了正交曲纹坐标系，Gauss—Lam∈方程和Gauss—codaZzi方程．由于已经知道Gauss—codazzi方程的解，而可积系统

4、与可积几何之间的关系也已经被建立起来．作者利用Gauss-Lam∈方程和适当的约束条件将上述二者联系起来，利用已知的Gauss—codazzi方程的解来求解具体的可积方程．作为例子，本文考虑了sine-Gordon方程和Tzitzeica方程，并给出它们的新解．在第4部分，考虑了一个离散谱问题．将它的伴随谱问题同时展开为^的正幂和负幂多项式，由此得到了一族离散方程，同时还利用迹恒等式给出了该族离散方程的Hamilton结构．接下来，本文又考虑了两个(1+1)一维变形1bda链．而这两个(1+1)一维离散方程恰为由伴随谱问题分别按矗的正幂和负幂展开所得到的第一个非平凡方程．最

5、后，利用La](矩阵的有限阶展开方法给出这两第1页郑州大学博士学位论文个变形Toda链的拟周期解．在本文的第5部分作者首先考虑了一个离散Toda族，通过建立位势与特征函数之间的Ba曙maIlIl约束给出了新的辛映射和有限维HaIIlilton系统，然后用母函数方法计算了守恒积分的对合性，并且利用椭圆坐标证明了守恒积分的独立性，从而证明了辛映射和有限维HaIIlil鼢1系统在Liouvme意义下的完全可积性．接着，作者又考虑了一个(2+1)维T0da链．利用分解的方法将这个(2+1)维链分解为两个可解的(1+1)维相关Toda链．借助特征函数所满足的Lax方程解矩阵，通过对L

6、ax矩阵的有限阶展开，建立了椭圆坐标和(1+1)维相关Toda链的解之间的直接的关系．引入Abel．Jacobi坐标，进行了连续流和离散流的拉直．最后利用鼬emann-Jacobi反演方法得到(1+1)维相关Toda链和(2+1)维T0da链的拟周期解．在本文的这六章，作者将非线性化方法应用到离散Ablowitz—Ladik族．导出了一个新的辛映射和一类新的有限维Hamilton系统，并且进一步证明了它们在LiouviⅡe意义下是完全可积的．作为应用，给出一种算法来求解离散Ablowitz．Ladik族的解。关键词：穿衣方法；离散可积系统；拟周期解第1I页郑州大学博士学位论

7、文ABSTRACTThe出essingmethodwasdeVel叩edbyZakhamVaIldShabatin1970s皿estartingpointoft圭leppoced_IlreiIlvolvesthefactorizationofaIlinte铲aloperatorFonthelineas山eproductoftwo、，oltemtypeinte掣alopemtorsK±，f而mwhichtheGel’fand—Levit觚equationisobtained．111esevolterra叩erator