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1、高等数学研究Vol.7,No.140STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSJan.,2004X论单位张量是唯一的二阶各向同性张量黄宏炜(中国地质大学数理系武汉430074)摘要在所有二阶张量中,只有单位张量(度规张量)I是各向同性的;二阶各向同性张量一定是球张量,反之亦然;偏张量为零的二阶张量一定是各向同性的。关键词单位张量各向同性球张量中图分类号O151124如果某一张量,其诸分量的量值在坐标系的正交换(转动)下仍得保持各自的原值不变,则该张量就称为各向同性张量。由此可见,坐标系的转动对
2、这种张量不产生任何影响。另外,各向同性张量若与任一标量K相乘,则乘积仍为各向同性张量,但量值将有相应的改变,除非K=+1。为了简便,不妨选取最常用的笛卡儿坐标系xi(i=1,2,3),它的基(称为标准正交基)为{ei}。三个基矢ei分别是沿各坐标正向的单位矢量,且有关系式1(当i=j)ei#ej=Dij=0(当iXj)式中Dij为Kronecker符号。通常也将(1)式作为笛卡儿坐标系度规张量(诸分量)的定义式。任一矢量或张量(阶数不限)均可通过基矢表示为a=aieiA=Aijeiej,,其中ai为矢量a
3、的分量,Aij为二阶张量A的分量,等等。对于式中重复出现的指标,必须按求和约定自1至3求和。单位张量(又名度规张量)用I来表示。在笛卡儿坐标系中,它的分量可记作Dij,于是有I=Dijeiej=eiei=e1e1+e2e2+e3e3容易验证,下列恒等式成立:2I=I#I=II#a=a#I=aI#A=A#I=A,,可见任一矢量或张量(阶数不限)若与I作点乘,则所得结果仍为该矢量或该张量本身。这正是单位张量(度规张量)I的特色。设笛卡儿坐标系的原基矢ei在正交变换(转动)下变为转动后的基矢eci,则有Teci
4、=Q#ei=ei#QT式中Q就是正交张量,Q是Q的转置。正交张量Q的特征之一是X收稿日期:2002-02-26第7卷第1期黄宏炜:论单位张量是唯一的二阶各向同性张量41TTQ#Q=Q#Q=I(QikQjk=QkiQkj=Dij)设u为给定的任意矢量。考虑任意的二阶张量T,并假定v=T#u,vc=Tc#uc(这两个表达式分别使用原先和转动后的坐标系。)又若正交张量Q被运用于上述矢量u和v,使uc=Q#u,vc=Q#v于是TTTc#uc=vc=Q#(T#u)=Q#T#(I#u)=Q#T#(Q#Q)#u=(Q#
5、T#Q)#uc鉴于u(从而uc)的任意性,可得TTc=Q#T#Q(Tcij=QikTklQjl)如果正交变换(转动)对这一张量T不产生任何影响,也就是说如果TQ#T#Q=T(QikTklQjl=Tij)(1a)或者等价地Tc=T(Tcij=Tij)(1b)我们就说这个二阶张量T是各向同性的。然而一般说来,TQ#T#QXT,TcXT所以任意二阶张量T一般不是各向同性的。然而,单位张量(度规张量)却确实是各向同性的,因为对于T=I这一特殊情形,条件(1a)、(1b)恰恰是能够满足的:TTIc=Q#I#Q=Q#
6、Q=I(Dcij=QikDklQjl=QikQjk=Dij)定理在所有二阶张量中,只有单位张量(度规张量)I是各向同性的。各向同性张量与任一标量K相乘,其乘积仍为各向同性张量。因此,二阶各向同性张量的普遍形式可表示为KI(或KDij)。习惯上,呈KI形式的二阶张量统称为球张量,于是有推论1二阶各向同性张量一定是球张量,反之亦然。*给定任意二阶张量S,则其偏张量(记作S)被定义为*1*1S=S-(trS)I(Sij=Sij-SkkDij)33由此,*1*1S=S+(trS)I(Sij=Sij+SkkDij)
7、33这表明,任何二阶张量S均可分解为它的偏张量与球张量之和。可见偏张量若为零张量(以下简称零),则S实际上就是球张量,从而按推论1,它是二阶各向同性张量。于是有推论2偏张量为零的二阶张量必为球张量,从而一定是各向同性的。*偏张量S一般不为零,当且仅当S=I时,trI=Dkk=3,它才等于零:*1*1I=I-(trI)I=I-I=O(Dij=Dij-DkkDij=Dij-Dij=0)33*在所有二阶张量中,只有单位张量(度规张量)I,它的偏张量I为零,因而I是唯一的二阶各向同性张量。这再次验证了前述定理的正
8、确性。参考文献[1]郭仲衡1张量(理论和应用)[M]1北京:科学出版社,1988:25,65,90,95,111
